Home / Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar

Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar

Post a Comment


Soal 1: SBMPTN 2018 Kode 527

Hasil dari $\int \left ( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right )dx$, adalah . . .
(A) $\frac{16}{x}+2x^3 +C$
(B) $\frac{16}{x}-2x^3 +C$
(C) $-\frac{16}{x}-x^3 +C$
(D) $-\frac{8}{x}+2x^3 +C$
(E) $\frac{8}{x}-2x^3 +C$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan aturan dasar integral untuk menyelesaikan soal ini yaitu $\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, $n\neq -1$.

$\int \left ( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right )dx$
$=\int \left ( \frac{-16}{x^2}-\frac{6x^4}{x^2} \right )dx$
$=\int (-16x^{-2}-6x^{4-2})dx$
$=\int (-16x^{-2}-6x^{2})dx$
$=\frac{-16}{-2+1}x^{-2+1}-\frac{6}{2+1}x^{2+1}+C$
$=16x^{-1}-2x^3+C$
$=\frac{16}{x}-2x^3+C$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 2: SNMPTN 2011 Kode 678

Diketahui $\int f(x)dx=\frac{1}{4}ax^2+bx+c$. Jika $f(a)=\frac{a+2b}{2}$ dan $f(b)=6$, maka fungsi $f(x) = . . .$
(A) $\frac{1}{2}x+4$
(B) $2x+4$
(C) $\frac{1}{2}x-4$
(D) $x+4$
(E) -$\frac{1}{2}x+4$

PEMBAHASAN:
Untuk $\int f(x)dx=\frac{1}{4}ax^2+bx+c$ dapat kita tentukan $f(x)dx=\frac{1}{2}ax+b$

Untuk $f(a)=\frac{a+2b}{2}$, maka berlaku:
$f(x)dx=\frac{1}{2}ax+b$
$f(a)dx=\frac{1}{2}a(a)+b$
$\frac{a+2b}{2}=\frac{1}{2}a(a)+b$
$a+2b=a^2+2b$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0$ atau $a=1$

Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $f(x)=\frac{1}{2}ax+b$ menjadi $f(x)=\frac{1}{2}x+b$.

Untuk $f(b)= 6$, kita peroleh:
$f(x)dx=\frac{1}{2}x+b$
$f(b)dx=\frac{1}{2}b+b$
$6=\frac{3}{2}b$
$b=4$

Kita dapatkan $f(x)=\frac{1}{2}x+4$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 3: SBMPTN 2018 Kode 526

Hasil dari $\int \left (2x- \frac{1}{2x}  \right )^2 dx$ adalah . . .
(A) $\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2x}-2x+C$
(B) $\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2x}-2x+C$
(C) $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2x}+2x+C$
(D) $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2x}-2x+C$
(E) $\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{2x}-2x+C$

PEMBAHASAN:
$\int \left (2x- \frac{1}{2x}  \right )^2 dx$
$=\int \left (4x^2- 2+\frac{1}{4x^2}  \right ) dx$
$=\int \left (4x^2- 2+4x^{-2}  \right ) dx$
$=\frac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\frac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1}+C$
$=\frac{4}{3}x^3-2x-\frac{1}{4x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 4: SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 226

$\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}dx=...$
(A) $3x-2x\sqrt{x}+C$
(B) $2x-3x\sqrt{x}+C$
(C) $3x\sqrt{x}-2x+C$
(D) $2x\sqrt{x}-3x+C$
(E) $3x+2x\sqrt{x}+C$

PEMBAHASAN:
$\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}dx$
$=\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}} \times \frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}dx$
$=\int \frac{3(1-x)(1-\sqrt{x})}{1-x}dx$
$=3\int (1-\sqrt{x})dx$
$=3\left ( x-\frac{2}{3}x\sqrt{x} \right )+C$
$=3x-2x\sqrt{x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 5: SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 229

$\int 9x^2\sqrt{x^3-1}dx=...$
(A) $\frac{1}{3}(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(B) $(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(C) $2(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(D) $3(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
(E) $9(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$

PEMBAHASAN:
Misalkan:
$u=x^3-1$ maka $\frac{du}{dx}=3x^2⇒du=3x^2dx$

Soal ini dapat kita tuliskan menjadi
$\int 9x^2\sqrt{x^3-1}dx$
$=\int 3.3x^2\sqrt{x^3-1}dx$
$=\int 3\sqrt{x^3-1}.3x^2dx$
$=\int 3\sqrt{u}du$
$=3.\frac{2}{3}.(u)\sqrt{u}+C$
$=3.\frac{2}{3}.(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$
$=2(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 6: SBMPTN 2018 Kode 527

$\int \left (\frac{x^4-1}{x^3+x}  \right )dx=...$
(A) $\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{x}-2x+C$
(B) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-2x+C$
(C) $\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{x}+2x+C$
(D) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-x+C$
(E) $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{x}-x+C$

PEMBAHASAN:
$\int \left (\frac{x^4-1}{x^3+x}  \right )dx=...$
$=\int \left (\frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x(x^2+1)}  \right )^2dx$
$=\int \left (\frac{(x^2-1) }{x }  \right )^2dx$
$=\int \left (\frac{x^2}{x }-\frac{1}{x}  \right )^2dx$
$=\int \left (x-x^{-1}  \right )^2dx$
$=\int \left (x^2-2+x^{-2}  \right )dx$
$=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$
$=\frac{1}{3}x^3-2x-\frac{1}{x}+C$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 7: UTBK SBMPTN 2019  

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx= . . .$
(A) $-5$
(B) $-3$
(C) $0$
(D) $4$
(E) $6$

PEMBAHASAN:
Kita gunakan:
  • $\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$ 
  • $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$ 
$\int_{b}^{a}f(x)dx=5⇒\int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0⇒\int_{a}^{c}f(x)dx=0$

maka
$\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
$\int_{a}^{c}f(x)dx=-5+0=-5$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 8: UTBK SBMPTN 2019  

Jika diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap. Jika nilai $\int_{-5}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$ dan $\int_{2}^{4}f(x)dx=2$, maka $\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx= . . .$

(A) $-7$
(B) $-3$
(C) $0$
(D) $3$
(E) $7$

PEMBAHASAN:
Konsep: Pada fungsi genap berlaku:

  • $f(-x)=f(x)$
  • Ciri fungsi genap adalah: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$
  • Bentuk grafik fungsi simetris dengan pusat sumbu $y$
Pada soal disampaikan bawah $f(x)$ merupakan fungsi genap dan $3x^2$ adalah fungsi genap karena $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:

$\int_{-5}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$
$2\int_{0}^{5}(f(x)+3x^2)dx=260$
$\int_{0}^{5}(f(x)+3x^2)dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ \int_{0}^{5}3x^2dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ |3x^2|_{0}^{5}dx=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx+ 125=130$
$\int_{0}^{5}f(x)dx=5$

$\int_{0}^{5}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{4}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$5=\int_{0}^{2}f(x)dx+2+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$5-2=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$
$3=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 9: UTBK SBMPTN 2019  

Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int_{-3}^{6}f(x)dx=-6$, maka $\int_{3}^{9}f(x)dx= . . .$

(A) $-4$
(B) $-6$
(C) $-8$
(D) $-10$
(E) $-12$

PEMBAHASAN:
Konsep:

  • $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$ 
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx= \int_{a}^{b}f(x)dx$
  • Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)'$

Karena $f(x+3)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $3$, sehingga berlaku:

$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{6}f(x)dx$

dari soal

$\int_{-3}^{6}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{6}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3-3}^{6-3}f(x+3)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{3}f(x)dx=-6$
$3\int_{-3}^{0}f(x)dx=-6$
$\int_{-3}^{0}f(x)dx=-2$

maka:

$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{6}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{6}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3-3}^{6-3}f(x+3)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= \int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{0}f(x)dx$
$\int_{3}^{9}f(x)dx= -2+(-2)=-4$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 10: SBMPTN 2018 Kode 420

Nilai $\int_{0}^{2}(3x+9)\sqrt{x^2+6x}dx$ adalah . . .

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

PEMBAHASAN:
Misalkan: 
$u = x^2+6x$
$\frac{du}{dx} = 2x+6$
$\frac{du}{dx} = 2(x+3)$
$\frac{du}{2} = (x+3)$

maka

$\int_{0}^{2}(3x+9)\sqrt{x^2+6x}dx$
$=\int_{0}^{2}3(x+3)\sqrt{x^2+6x}dx$
$=\int_{0}^{2}3\sqrt{x^2+6x}(x+3)dx$
$=\int_{0}^{2}3\sqrt{u}\frac{du}{2}$
$=\frac{3}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{u}du$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}u\sqrt{u} \right ]_{0}^{2}$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}(x^2+6x)\sqrt{x^2+6x} \right ]_{0}^{2}$
$=\frac{3}{2}\left [ \frac{2}{3}((2)^2+6(2))\sqrt{(2)^2+6(2)} \right ]_{0}^{2}-[0]$
$=16\sqrt{16}=64$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Location:

Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar"

Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!