Soal 1: SPMB 2005 Kode 270
Jika suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=2^{2x-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) $2^{2x-2}$
(B) $2^{2x-1}$
(C) $2^{2x}$
(D) $2^{2x+1}$
(E) $2^{2x+2}$
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
$S_\infty =\frac{a}{1-r} \ untuk \ 0<r<1$
Karena suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=2^{2x-n}$, maka deret geometrinya adalah
$U_1=2^{2x-n}$, $U_2=2^{2x-2}$, $U_3=2^{2x-3}$, $U_4=2^{2x-4}$, $U_5=2^{2x-5}$, ...
Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{2^{2x-2}}{2^{2x-1}}\\&=2^{(2x-2)-(2x-1)}\\&=2^{-1}\\r&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=U_1=2^{2x-1}$ dan rasio $\frac{1}{2}$;
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{2^{2x-1}}{1-\frac{1}{2}}\\&= \frac{2^{2x-1}}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{2^{2x-1}}{2^{-1}}\\&=2^{(2x-1)+1}\\S_\infty &=2^{2x}\end{aligned}$
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{2^{2x-2}}{2^{2x-1}}\\&=2^{(2x-2)-(2x-1)}\\&=2^{-1}\\r&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=U_1=2^{2x-1}$ dan rasio $\frac{1}{2}$;
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{2^{2x-1}}{1-\frac{1}{2}}\\&= \frac{2^{2x-1}}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{2^{2x-1}}{2^{-1}}\\&=2^{(2x-1)+1}\\S_\infty &=2^{2x}\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 2: UM UGM 2006 Kode 381
Diketahui deret geometri dengan $U_n=(^xlog \ 3 \ )^n$, $x>0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
(A) $x \leqslant \frac{1}{3}$ atau $x \geqslant 3$
(B) $\frac{1}{3}<x<3$
(C) $x>3$ atau $0<x< \frac{1}{3}$
(D) $x \geqslant 3$ atau $0<x \leqslant \frac{1}{3}$
(E) $x< \frac{1}{3}$ atau $x>3$
PEMBAHASAN:
Karena suku ke-$n$ suatu deret adalah $U_n=(^xlog \ 3 \ )^n$, maka deret geometrinya adalah
$U_1=(^xlog \ 3 \ )$, $U_2=(^xlog \ 3 \ )^2$, $U_3=(^xlog \ 3 \ )^3$, . . .
Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{(^xlog \ 3 \ )^2}{(^xlog \ 3 \ )}\\r&=^xlog \ 3 \ \end{aligned}$
Agar deret mempunyai nilai, maka $r=^xlog \ 3 \ $ harus $-1<r<1$, sehingga $-1<^xlog \ 3 \ <1$.
Pertidaksaaan $-1<^xlog \ 3 \ <1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan:
Kemungkinan pertama saat $x>1$ (tanda ketaksamaan tetap)
$\begin{aligned}-1&<^xlog \ 3 \ <1 \\^xlog \ x^{-1}&<^xlog \ 3 \ <^xlog \ x \\x^{-1}&<3<x \\\frac{1}{x}&<3<x\end{aligned}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- Untuk $3<x$, nilai $x$ yang memenuhi $x>3$ . . . (1)
- Untuk $\frac{1}{x}<3$,
$\begin{aligned}\frac{1}{x}&<3\\\frac{1}{x}-3&<0\\\frac{1-3x}{x}&<0\\x=0 \ atau \ x = \frac{1}{3}\end{aligned}$
nilai $x$ yang memenuhi $x<0$ dan $x>\frac{1}{3}$ . . . (2) - Irisan dari (1) dan (2) dan $x>0$ adalah $HP_1=$ {$x>3$}
Kemungkinan kedua saat $0<x<1$ (tanda ketaksamaan dibalik)
$\begin{aligned}-1&<^xlog \ 3 \ <1 \\^xlog \ x^{-1}&<^xlog \ 3 \ <^xlog \ x \\x^{-1}&<3<x \\\frac{1}{x}&>3>x\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (C)
$\begin{aligned}-1&<^xlog \ 3 \ <1 \\^xlog \ x^{-1}&<^xlog \ 3 \ <^xlog \ x \\x^{-1}&<3<x \\\frac{1}{x}&>3>x\end{aligned}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- Untuk $3>x$, nilai $x$ yang memenuhi $x<3$ . . . (3)
- Untuk $\frac{1}{x}>3$,
$\begin{aligned}\frac{1}{x}&>3\\\frac{1}{x}-3&>0\\\frac{1-3x}{x}&>0\\x=0 \ atau \ x = \frac{1}{3}\end{aligned}$
nilai $x$ yang memenuhi $0<x<\frac{1}{3}$ . . . (4) - Irisan dari (3) dan (4) dan $x>0$ adalah $HP_2=$ {$0<x<\frac{1}{3}$}
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 3: SPMB 2005 Kode 470
Jika $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ maka jumlah deret tak hingga $\frac{1}{p}+\frac{1}{pq}+\frac{1}{pq^2}+...+\frac{1}{pq^n}+...$ adalah...
(A) $1$
(B) $1\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{q}{p}$
(E) $\frac{p}{q}$
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
$S_\infty =\frac{a}{1-r} \ untuk \ 0<r<1$
$\begin{aligned}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}&=1\\\frac{p+q}{pq}&=1\\pq&=p+q\\pq-p&=q\\p(q-1)&=q\\p&=\frac{q}{q-1}\end{aligned}$
Pada soal diketahui $a=U_1=\frac{1}{p}$ dan ratio deret geometri ini adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}}\\r&=\frac{1}{q}\end{aligned}$
Jumlah deret geometri tak hingganya adalah
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{q}}\\&=\frac{\frac{1}{p}}{\frac{q-1}{q}}\\&=\frac{1}{p}\cdot \frac{q}{q-1}\\S_\infty &=\frac{1}{p}\cdot p=1\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 4: Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314
Diberikan deret geometri $1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+...=2a+9$ dengan $-4<a<-2$. Jika $a,-7,b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b=...$
(A) $7$
(B) $0$
(C) $-7$
(D) $-14$
(E) $-21$
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Ratio deret geometri adalah
$\begin{aligned}r&=\frac{U_2}{U_1}\\&=\frac{-(a+3}{1}\\r&=-(a+3) \end{aligned}$
maka
$\begin{aligned}1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+...&=2a+9\\\frac{1}{1-[-(a+3)]}&=2a+9\\\frac{1}{a+4}&=2a+9\\(a+4)(2a+9)&=1\\2a^2+9a+8a+36&=1\\2a^2+17a+35&=0\\(2a+7)(a+5)&=0\\a&=-\frac{7}{2} \ atau \ a=-5\end{aligned}$
Nilai $a$ harus memenuhi $-4<a<-2$, maka $a=-\frac{7}{2}$ dan $a=-5$ tidak memenuhi.
$\begin{aligned}1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+...&=2a+9\\\frac{1}{1-[-(a+3)]}&=2a+9\\\frac{1}{a+4}&=2a+9\\(a+4)(2a+9)&=1\\2a^2+9a+8a+36&=1\\2a^2+17a+35&=0\\(2a+7)(a+5)&=0\\a&=-\frac{7}{2} \ atau \ a=-5\end{aligned}$
Nilai $a$ harus memenuhi $-4<a<-2$, maka $a=-\frac{7}{2}$ dan $a=-5$ tidak memenuhi.
Barisan $a$, $-7$, $b$ adalah barisan geometri sehingga $-\frac{7}{2}$$-7$$b$ sehingga menjadi $b=14$.
Maka nilai $2a+b=2\left( -\frac{7}{2} \right)+14=7$
Maka nilai $2a+b=2\left( -\frac{7}{2} \right)+14=7$
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 5: UM UGM 2019 Kode 934
Diberikan bilangan real $r$, dengan $0<r<1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\frac{1}{1+r}$ adalah $8$, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $r$ adalah...
(A) $10$
(B) $12$
(C) $15$
(D) $16$
(E) $18$
PEMBAHASAN:
Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga kita gunakan rumus
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\frac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\8&=\frac{2}{1-\frac{1}{1+r}}\\8&=\frac{2}{\frac{1+r}{1+r}-\frac{1}{1+r}}\\8&=\frac{2}{\frac{r}{1+r}}\\8r&=2(1+r)\\4r&=1+r\\r&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
Sehingga,
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{8}{1-\frac{1}{3}}\\&=\frac{8}{\frac{2}{3}}\\S_\infty &=12\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 6: UTBK TKA SAINTEK 2019
Seseorang berjalan dengan kecepatan $60$ selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
(A) $160$
(B) $120$
(C) $100$
(D) $80$
(E) $60$
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya, artinya ratio deret geometri dengan suku pertama $a=60$ km/jam ini adalah $\frac{1}{4}$.
Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah jumlah deret geometri tak hingga yaitu,
$\begin{aligned}S_\infty& =\frac{a}{1-r}\\&=\frac{60}{1-\frac{1}{4}}\\&=\frac{60}{\frac{3}{4}}\\S_\infty &=\frac{60 \times 4}{3}=80\\\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 7: SPMB 2005 Kode 470
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ mempunyai jumlah $2$, maka $a$ mempunyai...
(A) $-2<a<0$
(B) $-4<a<0$
(C) $0<a<2$
(D) $0<a<4$
(E) $-4<a<4$
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus untuk menentukan deret geometri tak hingga yaitu:
$S_\infty =\frac{a}{1-r}$
Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, maka berlaku:
$\begin{aligned}S_\infty& =\frac{a}{1-r}\\2&=\frac{a}{1-r}\\2(1-r)&=a\\2-2r&=a\\2r&=2-a\\r&=\frac{1}{2}(2-a)\end{aligned}$
Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $2$ adalah batasan $-1<r<1$, maka
$\begin{aligned}-1&<r<1\\-1&<\frac{1}{2}(2-a)<1\\-2&<2-a<2\\-2&<a-2<2\\-2+2&<a-2+2<2+2\\0&<a<4\\\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 8: UM UGM 2005 Kode 812
$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $A$,
$B_1$ pada $BC$ sehingga $AB_1 \perp BC$,
$A_1$ pada $AC$ sehingga $B_1A_1 \perp AC$,
$B_2$ pada $BC$ sehingga $A_1B_2 \perp BC$,
$A_2$ pada $AC$ sehingga $B_2A_2 \perp AC$,
dan seterusnya. Jika $AB=6$ dan $BC=10$, maka jumlah luas $\bigtriangleup ABC$, $\bigtriangleup B_1AC$, $\bigtriangleup A_1B_1C$, $\bigtriangleup B_2A_1C$, $\bigtriangleup A_2B_2C$ dan seterusnya adalah...
(A) $\frac{600}{8}$
(B) $\frac{600}{9}$
(C) $60$
(D) $50$
(E) $\frac{600}{16}$
PEMBAHASAN:
Dari soal diketahui panjang $AB=6$ dan $BC=10$ maka panjang $AC$ adalah
$\begin{aligned}AC&=\sqrt{BC^2-AB^2}\\&=\sqrt{10^2-6^2}\\AC&=8\end{aligned}$
Dari keterangan pada soal kita dapat menuliskan luas $\bigtriangleup ABC$ adalah
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC&=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB_1\\(6)(8)&=10\cdot AB_1\\24&=5\cdot AB_1\\AB_1&=\frac{24}{5}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC&=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB_1\\(6)(8)&=10\cdot AB_1\\24&=5\cdot AB_1\\AB_1&=\frac{24}{5}\end{aligned}$
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung $BB_1=\frac{18}{5}$ dan $B_1C=\frac{32}{5}$, maka luas $\bigtriangleup B_1AC$ adalah
$\begin{aligned}L\bigtriangleup B_1AC&=\frac{1}{2}\cdot B_1C\cdot AB_1\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{24}{5}\\L\bigtriangleup B_1AC&=24\cdot \frac{16}{25}\end{aligned}$
Dari gambar kita ketahui bahwa $\bigtriangleup AB_1C$ sebangun dengan $\bigtriangleup AA_1B_1$, maka
$\begin{aligned}\frac{AB_1}{AC}&=\frac{A_1B_1}{B_1C}\\\frac{\frac{24}{5}}{8}&=\frac{A_1B_1}{\frac{32}{5}}\\A_1B_1&=\frac{24}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{8}\\A_1B_1&=\frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\end{aligned}$
Dari gambar kita ketahui bahwa $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup A_1B_1C$, maka
$\begin{aligned}\frac{AB}{AC}&=\frac{A_1B_1}{A_1C}\\\frac{6}{8}&=\frac{ \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}}{A_1C}\\A_1C&=8\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{6}\\A_1C&=\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5}\end{aligned}$
maka luas $\bigtriangleup A_1B_1C$ adalah
$\begin{aligned}L\bigtriangleup A_1B_1C&=\frac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot A_1C\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5} \\L\bigtriangleup A_1B_1C&=24\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{16}{25}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{AB_1}{AC}&=\frac{A_1B_1}{B_1C}\\\frac{\frac{24}{5}}{8}&=\frac{A_1B_1}{\frac{32}{5}}\\A_1B_1&=\frac{24}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{8}\\A_1B_1&=\frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\end{aligned}$
Dari gambar kita ketahui bahwa $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup A_1B_1C$, maka
$\begin{aligned}\frac{AB}{AC}&=\frac{A_1B_1}{A_1C}\\\frac{6}{8}&=\frac{ \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}}{A_1C}\\A_1C&=8\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{6}\\A_1C&=\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5}\end{aligned}$
maka luas $\bigtriangleup A_1B_1C$ adalah
$\begin{aligned}L\bigtriangleup A_1B_1C&=\frac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot A_1C\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{32}{5}\cdot\frac{8}{5}\cdot \frac{16}{5} \\L\bigtriangleup A_1B_1C&=24\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{16}{25}\end{aligned}$
Hal yang sama juga untuk $L\bigtriangleup A_1B_1C$, $L\bigtriangleup A_1B_1C$ dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
$L\bigtriangleup ABC+L\bigtriangleup B_1AC+L\bigtriangleup A_1B_1C+...$
$\begin{aligned}&=24+24\cdot \frac{16}{25}+24\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{16}{25}+...\\&=\frac{24}{1-\frac{16}{25}}\\&=\frac{24}{\frac{9}{25}}\\&=\frac{24\cdot 25}{9}\\&=\frac{600}{9}\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 9: UM UGM 2007 Kode 741
Jika $x-1$$x-\frac{3}{2}$$x-\frac{7}{4}$ adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $-\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: $U_{2}^{2}=U_1 \cdot U_3$, maka:
$\begin{aligned}\left ( x-\frac{3}{2} \right )^2&=(x-1)\left ( x-\frac{7}{4} \right )\\x^2-3x+\frac{9}{4}&=x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4}\\\frac{11}{4}x-3x&=\frac{7}{4}-\frac{9}{4}\\-\frac{1}{4}x&=-\frac{1}{2}\\x&=2\end{aligned}$
Maka barisan geometrinya menjadi $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}}\\S_\infty &=2\end{aligned}$
Jika $x-1$$x-\frac{3}{2}$$x-\frac{7}{4}$ adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $-\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
Kita gunakan hubungan pada deret geometri yaitu: $U_{2}^{2}=U_1 \cdot U_3$, maka:
$\begin{aligned}\left ( x-\frac{3}{2} \right )^2&=(x-1)\left ( x-\frac{7}{4} \right )\\x^2-3x+\frac{9}{4}&=x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4}\\\frac{11}{4}x-3x&=\frac{7}{4}-\frac{9}{4}\\-\frac{1}{4}x&=-\frac{1}{2}\\x&=2\end{aligned}$
Maka barisan geometrinya menjadi $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$,..., sehingga jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\begin{aligned}S_\infty &=\frac{a}{1-r}\\&=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}}\\S_\infty &=2\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$. Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1<r<1$, $u_1+u_2+u_3+...=6$ dan $u_3+u_4+u_5+...=2$, maka nilai $r$ adalah...
(A) $-\frac{1}{4}$ atau $\frac{1}{4}$
(B) $-\frac{1}{3}$ atau $\frac{1}{3}$
(C) $-\frac{1}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(E) $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Soal 10: SBMPTN 2013 Kode 223
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$. Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1<r<1$, $u_1+u_2+u_3+...=6$ dan $u_3+u_4+u_5+...=2$, maka nilai $r$ adalah...
(A) $-\frac{1}{4}$ atau $\frac{1}{4}$
(B) $-\frac{1}{3}$ atau $\frac{1}{3}$
(C) $-\frac{1}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(E) $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Deret Geometri Tak Hingga"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!