Persegi panjang manakah yang mempunyai luas tersebut, jika kelilingnya 400 cm?
Jawab:
Misalkan sisi-sisi persegi panjang itu adalah x cm dan y cm, sedangkan luasnya L(x) maka
Keliling persegi panjang = 400 cm
2x + 2y = 400
y = 200 - x
Luas persegi panjang adalah L(x) = xy, maka
y = 200 - x
→ L(x) = xy
→ L(x) = x(200-x)
→ L(x)=200x−x2
Turunan pertama dan kedua dari fungsi L(x) adalah
L'(x) = 200 - 2x dan L''(x) = -2.
Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = -2 < 0, maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 100 dan nilai balik maksimum adalah
L(100)=200(100)−(100)2=10000
Untuk x = 100, maka y = 200 - 100 = 100.
Jadi, persegi panjang yang dimaksud adalah persegi yang mempunyai panjang sisi 100 cm, sehingga luas maksimumnya adalah 10000 cm2.
Contoh Soal 2
Diketahui 𝜟ABC sama kaki, dengan alasan AB = 10 cm dan tinggi = 6 cm. Dalam segitiga ini dibuat persegi panjang yang sebuah sisinya pada AB dan sisi-sisi yang lainnya mempunyai titik-titik sudut pada AC dan BC. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang yang mempunyai luas tersebut. Hitunglah luasnya.
Jawab:
Misalkan persegi panjang itu adalah PQRS dengan PQ = x dan QR = y, maka
Luas persegi panjang PQRS
= luas 𝜟ABC - 2 x luas 𝜟APS - luas 𝜟SRC
xy = 12(10)(6) - 2(12)AP(PS) - (12)(SR)(CM)
xy = 30 - 12(10 - x)y - 12x(6 - y)
xy = 30 - 5y + 12xy -3x + 12xy
xy = 30 - 5y - 3x + xy
0 = 30 - 5y - 3x
y=6−35x
L(x) = luas persegi panjang PQRS = xy
L(x) = x(6 - 35x)
L(x) = 6x - 35x2
Turunan pertama dan kedua dari L(x) terhadap x adalah
L'(x) = 6 - 65x dan L''(x) = −65
Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = 0, maka
6−65x=0 → x = 5
Karena untuk x = 5, maka L''(5) = −65<0, bedasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 5 dan nilai balik maksimumnya adalah
L(5) = 6(5) - 35(5)2 = 15
untuk x = 5, maka y = 6 - 35(5) = 3.
Jadi, persegi panjang yang diminta mempunyai panjang 5 cm dan lebar 3 cm.
Luas persegi panjang itu adalah 15cm2
