Persegi panjang manakah yang mempunyai luas tersebut, jika kelilingnya 400 cm?
Jawab:
Misalkan sisi-sisi persegi panjang itu adalah x cm dan y cm, sedangkan luasnya L(x) maka
Keliling persegi panjang = 400 cm
2x + 2y = 400
y = 200 - x
Luas persegi panjang adalah L(x) = xy, maka
y = 200 - x
→ L(x) = xy
→ L(x) = x(200-x)
→ $L(x)=200x-x^2$
Turunan pertama dan kedua dari fungsi L(x) adalah
L'(x) = 200 - 2x dan L''(x) = -2.
Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = -2 < 0, maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 100 dan nilai balik maksimum adalah
$L(100)=200(100)-(100)^2 = 10000$
Untuk x = 100, maka y = 200 - 100 = 100.
Jadi, persegi panjang yang dimaksud adalah persegi yang mempunyai panjang sisi 100 cm, sehingga luas maksimumnya adalah 10000 cm2.
Contoh Soal 2
Diketahui 𝜟ABC sama kaki, dengan alasan AB = 10 cm dan tinggi = 6 cm. Dalam segitiga ini dibuat persegi panjang yang sebuah sisinya pada AB dan sisi-sisi yang lainnya mempunyai titik-titik sudut pada AC dan BC. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang yang mempunyai luas tersebut. Hitunglah luasnya.
Jawab:
Misalkan persegi panjang itu adalah PQRS dengan PQ = x dan QR = y, maka
Luas persegi panjang PQRS
= luas 𝜟ABC - 2 x luas 𝜟APS - luas 𝜟SRC
xy = $\frac{1}{2}$(10)(6) - 2($\frac{1}{2}$)AP(PS) - ($\frac{1}{2}$)(SR)(CM)
xy = 30 - $\frac{1}{2}$(10 - x)y - $\frac{1}{2}$x(6 - y)
xy = 30 - 5y + $\frac{1}{2}$xy -3x + $\frac{1}{2}$xy
xy = 30 - 5y - 3x + xy
0 = 30 - 5y - 3x
$y = 6 -\frac{3}{5}x$
L(x) = luas persegi panjang PQRS = xy
L(x) = x(6 - $\frac{3}{5}$x)
L(x) = 6x - $\frac{3}{5}x^2$
Turunan pertama dan kedua dari L(x) terhadap x adalah
L'(x) = 6 - $\frac{6}{5}x$ dan L''(x) = $-\frac{6}{5}$
Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = 0, maka
$6-\frac{6}{5}x=0$ → x = 5
Karena untuk x = 5, maka L''(5) = $-\frac{6}{5}<0$, bedasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 5 dan nilai balik maksimumnya adalah
L(5) = 6(5) - $\frac{3}{5}(5)^2$ = 15
untuk x = 5, maka y = 6 - $\frac{3}{5}(5)$ = 3.
Jadi, persegi panjang yang diminta mempunyai panjang 5 cm dan lebar 3 cm.
Luas persegi panjang itu adalah $15 cm^2$
Post a Comment for "Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Geometri"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!