Definisi:
Jika a suatu bilangan real a ≠ 0, maka $a^0 = 1$
Bukti:
- Andaikan $a^m \times a^n = a^{m+n}$ berlaku untuk m = 0, maka $a^0 \times a^n = a^{0+n} = a^n$
- kita mengetahui bahwa $1 \times a^n = a^n$
Pangkat Bulat Negatif
Definisi:
Jika a suatu bilangan real, a ≠ 0, dan n suatu bilangan bulat positif, maka
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Definisi pangkat bulat negatif mengakibatkan bahwa untuk bilangan bulat positif berlaku
$a^{n} = \frac{1}{a^{-n}}$, dengan a ≠ 0
Bukti:
Misalkan n suatu bilangan bulat positif, maka -n adalah suatu bilangan bulat negatif. Andaikan rumus $a^{m} \times a^n = a^{m +n}$ berlaku juga untuk bilangan bulat negatif m dan n, maka dengan mengambil m = -n, diperoleh
$a^{-n} \times a^n = a^{-n + n} = a^0 = 1$
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
a. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Negatif
Teorema pangkat bulat positif berlaku pula untuk pangkat bulat negatif.
b. Notasi Ilmiah Bilangan Kecil
Bilangan kecil adalah bilangan-bilangan yang berkisar antara 0 dan 1. Notasi ilmiah bilangan kecil dinyatakan $a \times 10^{-n}$ dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli. Pangkat n dapat diperoleh dari banyak pergeseran koma desimal.
Contoh Soal 1
a. $5^0$ b. $2 \times (a+2)^0$ c. $5(\frac{3}{4})^0$ | d. $(-9)^0$ e. $-1.008^0 \times 100^0$ f. $(x^2-2x-6)^0$ |
a. $5^0$ = 1
b. $2 \times (a+2)^0=2 \times 1=2$
c. $5(\frac{3}{4})^0=5 \times 1 = 5$
d. $(-9)^0=1$
e. $-1.008^0 \times 100^0=(-1) \times 1 = -1$
f. $(x^2-2x-6)^0=1$
Contoh Soal 2
a. $2^{-2}$ b. $5(a)^{-1}$ c. $-xy^{-3}$ | d. $\frac{1}{x^{-2}}$ e. $\frac{2}{-3a^{-4}}$ f. $\frac{1}{2}x^{-5}$ |
a. $2^{-2}= \frac{1}{2^5}$
b. $5(a)^{-1}= \frac{5}{a}$
c. $-xy^{-3} = - \frac{x}{y^3}$
d. $\frac{1}{x^{-2}} = x^2$
e. $\frac{2}{-3a^{-4}}= - \frac{2}{3}a^4$
f. $\frac{1}{2}x^{-5}= \frac{1}{2x^5}$
Contoh Soal 3
a. $3^6 \times 3^{-15}$ b. $2a^{-8} \times a^{-10}$ c. $-x^{-9} \times x^{-2}$ d. $\frac{-(-2)^{14}}{(-2)^7}$ e. $\frac{(2x+5)^6}{3(2x+5)^7}$ f. $7(-x^{-3})^6$ g. $[-5(y)^{-3}]^5$ | h. $[2(x+8)^3]^{-4}$ i. $4(a^3b^{-6})^{-2}$ j. $[-2(x^8y^{-1})]^5$ k. $3[(2x-4)^{-3}y^3]^{-6}$ l. $5^6 \left( \frac{3^{-5}}{5^2} \right)^{-4}$ m. $ \left[-2 \frac{x^{-6}}{y^{-3}} \right]^4$ n. $-80 \left(\frac{-x^{-1}y^6}{2z^3} \right)^3$ |
a. $3^6 \times 3^{-15}=3^{6-15}=3^{-9}= \frac{1}{3^9}$
b. $2a^{-8} \times a^{-10}=2(a^{-8-10})=2a^{-18}= \frac{2}{a^{18}}$
c. $-x^{-9} \times x^{-2} = (-1)(x^{-9-2})=(-1)x^{-11}= - \frac{1}{x^{11}}$
d. $\frac{-(-2)^{14}}{(-2)^7} = -(-2)^{14-7}=-[(-1) \times 2]^7$
e. $\frac{(2x+5)^6}{3(2x+5)^7} = \frac{1}{3(2x+5)^{7-6}}= \frac{1}{3(2x + 5)}$
f. $7(-x^{-3})^6=7[(-1) \times x^{-3}]^6$
$=7 \times (-1)^6 \times x^{-3 \times 6}= 7 \times 1 \times x^{-18}= \frac{7}{x^{18}}$
g. $[-5(y)^{-3}]^5= [(-1) \times 5 \times (y)^{-3}]^5$
$= (-1) \times 5^5 \times (y)^{-3 \times 5}]=(-1) \times 5^5 \times y^{-15} = - \frac{3.125}{y^{15}}$
h. $[2(x+8)^3]^{-4} = 2^{-4}(x + 8)^{3 \times -4}$
$= 2^{-4}(x + 8)^{-12}= \frac{1}{2^4(x + 8)^{12}}$
i. $4(a^3b^{-6})^{-2} = 4a^{3 \times (-2)b^{-6 \times (-2)}}=4a^{-6}b^{12}= \frac{4b^{12}}{a^6}$
j. $[-2(x^8y^{-1})]^5 = [(-1)(2)(x^8 y^{-1})]^5$
$= (-1)^5 (2)^5(x^{8 \times 5} y^{-1 \times 5}) = (-1)(32)x^{40}y^{-5}= -\frac{32x^{40}}{y^5}$
k. $3[(2x-4)^{-3}y^3]^{-6} = 3(2x-4)^{-3 \times (-6)y^{3 \times (-6)}}$
$=3(2x - 4)^{18}y^{-18}= \frac{3(2x-4)^{18}}{y^{18}}$
l. $5^6 \left( \frac{3^{-5}}{5^2} \right)^{-4} = 5^6 \times \frac{3^{-5 \times (-4)}}{5^{2 \times (-4)}}$
$=5^6 \times \frac{3^{20}}{5^{-8}}= 5^{6+8} \times 3^{20} = 5^{14}3^{20}$
m. $ \left[-2 \frac{x^{-6}}{y^{-3}} \right]^4 = = (-1)^4 2^4 \frac{x^{-6 \times 4}}{y^{-3 \times 4}}$
$=1.16. \frac{x^{-24}}{y^{-12}}= \frac{16y^{12}}{x^{24}}$
n. $-80 \left(\frac{-x^{-1}y^6}{2z^3} \right)^3=-80 \left[\frac{(-1)x^{-1}y^6}{2z^3} \right]^3$
$=-80 \frac{(-1)^3x^{-1 \times 3}y^{6 \times 3}}{2^3 z^{3 \times 3}}$
$=-80 \frac{(-1)x^{-3}y^{18}}{8 z^{9}}= \frac{10y^{18}}{x^3z^9}$
Contoh Soal 4
Buktikan bahwa:
a. $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b}= -\frac{1}{ab}$
b. $(e^x + 1)(e^x - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x}+1)= e^{16x}-1$
c. $\frac{(4x^3)^{-2}(16x^{-2})^2}{(8x^{-1})^2(2x^2)^{-3}}=0,02$, untuk x = 10
Jawab:
a. $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b}$
= $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b} \times \frac{a^2b^2}{a^2b^2}$
= $\frac{a^0b^2 - a^2b^0}{a^3b-ab^3}$
= $\frac{b^2-a^2}{a^3b-ab^3}$
= $\frac{-(a^2 - b^2)}{ab(a^2-b^2)}=- \frac{1}{ab}$, TERBUKTI.
b. $(e^x + 1)(e^x - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x}+1)$
=$(e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x} + 1)$
=$(e^{4x} - 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x} + 1)$
=$(e^{8x} - 1)(e^{8x} + 1)= e^{16x} -1$
c. untuk x = 10, $\frac{(4x^3)^{-2}(16x^{-2})^2}{(8x^{-1})^2(2x^2)^{-3}}$
=$\frac{(2^2 \times 10^3)^{-2}(2^4 \times 10^{-2})^2}{(2^3 \times 10^{-1})^2(2 \times 10^2)^{-3}}$
=$\frac{2^{-4} \times 10^{-6} \times 2^8 \times 10^{-4}}{2^6 \times 10^{-2} \times 2^{-3} \times 10^{-6}}$
=$\frac{2^{-4+8-6+3}}{10^{-2-6+6+4}}= \frac{2}{100}=0,02$
Contoh Soal 5
Jika $\frac{(0,12)^4 (0,243)^6}{(1,8)^{10}} = \frac{2^a3^b}{5^c}$, carilah nilai dari 2a - b + 2c.
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{(0,12)^4 (0,243)^6}{(1,8)^{10}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\\ \frac{\left(\frac{12}{100} \right)^4 \left( \frac{243}{100} \right)^6}{ \left( \frac{18}{10} \right)^{10}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\\ \frac{\frac{12^4}{10^8} \frac{243^6}{10^{18}}}{\frac{10^{18}}{10^{10}}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{12^4 \times 243^6}{18^{10} \times 10^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{(2^2 \times 3)^4 (3^5)^6}{(2 \times 3^2)^{10}(2 \times 5)^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{2^{-18}3^{14}}{5^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\end{aligned}$
dari persamaan ini kita peroleh a = -18, b = 14 dan c = 16, maka
2a - b + 2c = 2(-18) - 14 + 2(16) = -18
Post a Comment for "Pangkat Nol, Pangkat Bulat Negatif dan Notasi Ilmiah Bilangan Kecil dan Pembahasan Soal"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!