Home / Bentuk Pangkat dan Akar

Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal

Post a Comment

a. Pecahan Berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ dengan b > 0

Pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan $\sqrt{b}$, sehingga

$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}= \frac{a \sqrt{b}}{b}=\frac{a}{b} \sqrt{b}$

Secara umum merasionalkan pecahan dapat dirumuskan sebagai berikut:

$\frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \times \frac{\sqrt[n]{b^{n-1}}}{\sqrt[n]{b^{n-1}}}= \frac{a}{b} \sqrt[n]{b^{n-1}}$

b. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$

Bentuk-bentuk $a+ \sqrt{b}$ dan $a- \sqrt{b}$, dengan a rasional dan $\sqrt{b}$ bentuk akar dinamakan bentuk-bentuk yang sekawan atau $a + \sqrt{b}$ dinamakan kawan dari $a - \sqrt{b}$. Hasil perkalian bentuk sekawan adalah bilangan rasional, sebab $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})= a^2 - b$, bentuk $a^2 - b^2$ adalah bilangan rasional. Sifat bentuk sekawan ini digunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan yang bersangkutan. 

  • Untuk pecahan $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $a- \sqrt{b}$, sehingga 
          $\begin{aligned}\frac{c}{a+\sqrt{b}} &= \frac{c}{a+ \sqrt{b}} \times \frac{a- \sqrt{b}}{a- \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(a- \sqrt{b})}{a^2 - b} \\ &= \frac{c}{a^2 -b}(a- \sqrt{b})\end{aligned}$
  • Untuk pecahan $\frac{c}{a- \sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $a+ \sqrt{b}$, sehingga 
          $\begin{aligned}\frac{c}{a- \sqrt{b}} &= \frac{c}{a- \sqrt{b}} \times \frac{a+ \sqrt{b}}{a+ \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(a+ \sqrt{b})}{a^2 - b} \\ &= \frac{c}{a^2 -b}(a+ \sqrt{b})\end{aligned}$

c. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Untuk merasionalkan penyebut pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$, kita kalikan penyebut masing-masing pecahan dengan akar sekawannya.
  • Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $\sqrt{a}- \sqrt{b}$, sehingga 
          $\begin{aligned}\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(\sqrt{a}- \sqrt{b})}{a - b} \\ &= \frac{c}{a -b}(\sqrt{a}- \sqrt{b})\end{aligned}$
  • Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $\sqrt{a}+ \sqrt{b}$, sehingga  
          $\begin{aligned}\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a - b} \\ &= \frac{c}{a -b}(\sqrt{a}+ \sqrt{b})\end{aligned}$

Contoh Soal 1
Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{15}{\sqrt{3}}$

b. $\frac{9}{2 \sqrt{6}}$

c. $\frac{6}{\sqrt{18}}$

d. $\sqrt{\frac{5}{7}}$

e. $\frac{8}{\sqrt[3]{2}}$

f. $\frac{16 \sqrt{6} + \sqrt{24}-2}{2 \sqrt{3}}$

 Jawab:

a. $\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

= $\frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5 \sqrt{3}$

b. $\frac{9}{2 \sqrt{6}} = \frac{9}{2 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

= $\frac{9 \sqrt{6}}{2.6} = \frac{3}{4} \sqrt{6}$

c. $\frac{6}{\sqrt{18}} = \frac{6}{\sqrt{18}} \times \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{18}}$

= $\frac{6 \sqrt{18}}{18} = \sqrt{2}$

d. $\sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

= $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{7}}{7} = \frac{1}{7} \sqrt{35}$

e. $\frac{8}{\sqrt[3]{2}} = \frac{8}{\sqrt[3]{2}} \times \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}$

= $\frac{8 \sqrt[3]{4}}{2} = 4 \sqrt[3]{4}$

f. $\frac{16 \sqrt{6} + \sqrt{24}-2}{2 \sqrt{3}}$

= $\frac{16 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{24}}{2 \sqrt{3}} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

= $8 \sqrt{\frac{6}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{24}{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

= $8 \sqrt{2} + \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

= $9 \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3}$

Contoh Soal 2
Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$

b. $\frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}$

c. $\frac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{18 + 8 \sqrt{2}}}$


 Jawab: 
a. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$
$\begin{aligned}\frac{16}{3+ \sqrt{5}} &= \frac{16}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{16(3 - \sqrt{5}}{9-5} = 4(3 - \sqrt{5})\end{aligned}$

b. $\frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}$
$\begin{aligned}\frac{2 \sqrt{3}}{4- 2\sqrt{3}} &= \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}} \times \frac{2 \sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{16-12} \\ &= \frac{8 \sqrt{3}+ 12}{4} = 2 \sqrt{3} + 3\end{aligned}$

c. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$
$\begin{aligned}\frac{16}{3+ \sqrt{5}} &= \frac{16}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{16(3 - \sqrt{5}}{9-5} = 4(3 - \sqrt{5})\end{aligned}$

Contoh Soal 3
Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}}$

b. $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

c. $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{17 - 4 \sqrt{15}}}$


 Jawab: 
a. $\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}}$
$\begin{aligned}\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}} &= \frac{65}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \\ &= \frac{65(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{7-2} = 13(\sqrt{7} - \sqrt{2})\end{aligned}$

b. $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$
$\begin{aligned}\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}- \sqrt{3}} &= \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} -  \sqrt{3}} \times \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}} \\ &= \frac{3 \sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{3})}{8-3} \\ &= \frac{12 +3\sqrt{6}}{5} = \frac{3}{5} (4 + \sqrt{6})\end{aligned}$

c. $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{17 - 4 \sqrt{15}}}$
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{17- 2\sqrt{60}} &= \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{12} + \sqrt{5}}{\sqrt{12} + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{12} + \sqrt{5})}{12-5}\\ &= \frac{1}{7}(11 + 3\sqrt{15})\end{aligned}$

Contoh Soal 4
Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}$

b. $\frac{8}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{3}}$

c. $\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ 


 Jawab: 

a. $\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}} &= \frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}\times \frac{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}{7-5}\\ &= \frac{1}{2}(\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}) \end{aligned}$

b. $\frac{8}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{3}}$

$\begin{aligned}\frac{8}{\sqrt[4]{5}- \sqrt[4]{3}} &= \frac{8}{\sqrt[4]{5}- \sqrt[4]{3}}\times \frac{\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} + \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} + \sqrt[4]{27}}\\ &= \frac{8(\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45}+ \sqrt[4]{27})}{5-3}\\ &= 4(\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} +  \sqrt[4]{27}) \end{aligned}$

c. $\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}} &= \frac{1}{(\sqrt{2}+ \sqrt{3}) + \sqrt{5}}\times \frac{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})- \sqrt{5}}{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})- \sqrt{5}}\\ &= \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{3}- \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}\\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{5 + 2 \sqrt{6} - 5} \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{12} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{30}}{12} \end{aligned}$

Location:

Post a Comment for "Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal"

Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!