Jenis-jenis Ekstrim Fungsi dan Pembahasan Soal
Untuk memeriksa kondisi bahwa nilai stasioner suatu fungsi adalah nilai ekstrim fungsi itu dapat dilakukan dengan strategi uji turunan pertama dan strategi uji turunan kedua.
- Strategi Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Jenis Ekstrim
Misalkan x = c memberikan nilai stasioner f(c) dari suatu fungsi f yang diferensiabel. Jika f'(x) ada untuk setiap titik di sekitar x = c (yaitu interval kecil pada sumbu X yang membuat c) maka di sekitar x = c terdapat 4 kemungkinan untuk grafik f (dapat di lihat pada gambar di bawah ini)
- Jika f'(x) > 0 untuk x < c dan f'(x) < 0 untuk x > c, maka f mempunyai nilai balik maksimum pada x = c. Nilai balik maksimum itu adalah f(c).
- Jika f'(x) < 0 untuk x < c dan f'(x) > 0 untuk x > c, maka f mempunyai nilai balik minimum pada x = c. Nilai balik minimum itu adalah f(c).
- Jika f'(x) mempunyai tanda yang sama untuk x < c dan x > c, maka f tidak mempunyai maksimum atau minimum pada x = c, sehingga f(c) bukan nilai ekstrim.
- Strategi Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Jenis Ekstrim
Misalkan fungsi f(x) terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka I, artinya f'(x) dan f''(x) ada pada I. Jika c ∊ I dan f'(c) = 0 (berarti f(c) adalah nilai stasioner), maka
- Jika f''(c) < 0, maka f(c) adalah nilai balik maksimum fungsi f,
- Jika f''(c) > 0, maka f(c) adalah nilai balik minimum fungsi f,
- Jika f''(c) = 0, maka belum dapat disimpulkan, berarti f mungkin mencapai nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam kasus f''(c) = 0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turunan pertama.
Contoh Soal 1: Strategi Turunan Pertama untuk Menentukan Jenis Ekstrim
Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukanlah jenis dan nilai ektrim dari setiap fungsi berikut.
a. f(x) = 6 + 4x – 2x2
b. $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$
Jawab:
a. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 6 + 4x - 2x^2$ adalah $f'(x) = 4-4x$. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
4 - 4x = 0 → x = 1
Nilai stasionernya adalah
$f(1) = 6 + 4(1) - 2(1)^2 = 8$
Uji turunan pertama pada titik-titik di sekitar x = 1 diperlihatkan pada diagram berikut ini.
Berdasarkan diagram di atas, dapat disimpulkan bahwa jenis ekstrim fungsi $f(x) = 6 + 4x - 2x^2$adalah maksimum dan nilai balik maksimum $f_{maks} = 8$ yang dicapai pada x = 1.b. Turunan pertama dari fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$ adalah $f'(x) = x^2 - 2x -3$. Titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka
$x^2 - 2x -3 = 0$
(x + 1)(x - 3) = 0
x = -1 atau x = 3
Nilai-nilai stasioner adalah
⇒ untuk x = -1 diperoleh
$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 6 = -3$
Pemeriksaan uji turunan pertama di sekitar titik-titik x = -1 dan x = 3 diperlihatkan pada diagram ini.
Berdasarkan diagram di atas dapat disimpulkan bahwa jenis ekstrim fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x ^2 - 3x + 6$ adalah- jenis ekstrim maksimum dan nilai balik maksimum $f_{maks}=7 \frac{2}{3}$ yang dicapai pada x = -1.
- jenis ekstrim minimum dan nilai balik minimum $f_{min}=-3$ yang dicapai pada x = 3.
Carilah nilai stasioner dan jenisnya untuk setiap fungsi berikut ini.
a. f(x) = 12 – x – x2
b. $f(x) = x^3 + x^2 - 4x + 8$
Post a Comment for "Jenis-jenis Ekstrim Fungsi dan Pembahasan Soal"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!