arctan (x) + arctan (y) = arctan [(x + y)/(1 − xy)]

$arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari invers fungsi trigonometri

$arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$

(yaitu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Buktikan bahwa $arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ , jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Bukti:

Misalkan, tan⁻¹ x = α dan tan⁻¹ y = β

Dari tan⁻¹ x = α kita dapatkan,

x = tan α

dan dari tan⁻¹ y = β kita dapatkan,

y = tan β

Sekarang, $tan (\alpha + \beta) = \frac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$

$tan (\alpha + \beta) = \frac{x + y}{1 - xy}$

⇒ $\alpha + \beta = tan^{-1}\left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$

⇒ $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$

Oleh karena itu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ , jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Buktikan bahwa $arctan (x) + arctan (y) = \pi +arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ , jika x > 0, y > 0 dan xy > 1.

Dan $arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )-\pi$ , jika x < 0, y < 0 dan xy > 1.

Bukti:

Jika x > 0, y > 0 sehingga xy > 1, maka $\frac{x + y}{1 - xy}$ positif dan oleh karena itu, $\frac{x + y}{1 - xy}$ adalah sudut positif antara 0° dan 90°.

Demikian pula, jika x < 0, y < 0 sehingga xy > 1, maka $\frac{x + y}{1 - xy}$ positif dan oleh karena itu, tan⁻¹ $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ adalah sudut negatif sedangkan tan⁻¹ x + tan⁻¹ y adalah sudut positif sedangkan tan⁻¹ x + tan⁻¹ y adalah sudut non-negatif.

Oleh karena itu, tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = π + tan⁻¹ $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ , jika x > 0, y > 0 dan xy > 1 dan arctan (x) + arctan (y) = arctan $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$ – π, jika x < 0, y < 0 dan xy > 1.

Contoh soal yang berkaitan dengan $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy} \right )$

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa 4 (2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$ ) = π

Jawab:

2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

= tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

= tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}.\frac{1}{3}} \right )$

= tan⁻¹ $\frac{3}{4}$

Baca Juga

Dan (2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$ ) = 4 (tan⁻¹ $\frac{3}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$ )

= 4 tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}.\frac{1}{7}} \right )$

= 4 tan⁻¹ ( $\frac{25}{28}$ x $\frac{28}{25}$ )

= 4 tan⁻¹ 1

= 4( $\frac{1}{4}$ π)

= π (Terbukti)

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa, tan⁻¹ $\frac{1}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{2}{9}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{5}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$ π.

Jawab:

tan⁻¹ $\frac{1}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{2}{9}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{5}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{8}$

= tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4}.\frac{2}{9}} \right )$ + tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5}.\frac{1}{8}} \right )$