Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

Bagaimana cara mencari solusi umum dari persamaan cos θ = 0?

Buktikan bahwa solusi umum cos θ = 0 adalah θ = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, n ∈ Z

Jawab:

Menurut gambar, menurut definisi, kami memiliki,

Fungsi cosinus didefinisikan sebagai perbandingan sisi yang berdekatan dibagi dengan sisi miring.

Misalkan O menjadi pusat lingkaran satuan. Kita tahu bahwa dalam lingkaran satuan, panjang kelilingnya adalah 2π.

Jika kita mulai dari A dan bergerak berlawanan arah jarum jam maka pada titik A, B, A ', B' dan A, panjang busur yang ditempuh adalah 0, $\frac{1}{2}$π, π, $\frac{3}{2}$π, dan 2π.

Oleh karena itu, dari lingkaran satuan di atas terlihat jelas bahwa

cos θ = $\frac{OM}{OP}$

Sekarang, cos θ = 0

⇒ $\frac{OM}{OP}$ = 0

⇒ OM = 0.

Jadi, kapan cosinusnya sama dengan nol?

Jelasnya, jika OM = 0 maka OP lengan terakhir dari sudut θ bertepatan dengan OY atau OY '.

Demikian pula, lengan terakhir OP bertepatan dengan OY atau OY 'ketika θ = $\frac{1}{2}$π, $\frac{3}{2}$π, $\frac{5}{2}$π, $\frac{7}{2}$π, ……… .., -$\frac{1}{2}$π, -$\frac{3}{2}$π, -$\frac{5}{2}$π, -$\frac{7}{2}$π, ……… .. yaitu ketika θ adalah kelipatan ganjil dari $\frac{1}{2}$π yaitu, ketika θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, θ = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, n ∈ Z adalah solusi umum dari persamaan yang diberikan cos θ = 0

Contoh 1. Temukan solusi umum persamaan trigonometri cos 3x = 0

Jawab:

cos 3x = 0

⇒ 3x = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari persamaan yang diberikan cos θ = 0 adalah (2n + 1)$\frac{1}{2}$ π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. ]

⇒ x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum persamaan trigonometri cos 3x = 0 adalah x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 2. Temukan solusi umum persamaan trigonometri cos $\frac{3}{2}$x = 0

Jawab:

cos 3x = 0

⇒ 3x = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari persamaan yang diberikan cos θ = 0 adalah (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. ]

⇒ x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum persamaan trigonometri cos 3x = 0 adalah x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 3. Temukan solusi umum dari persamaan 2 sin² θ + sin² 2θ = 2

Jawab:

2 sin² θ + sin² 2θ = 2

⇒ sin² 2θ + 2 sin² θ - 2 = 0

⇒ 4 sin²θcos² θ - 2(1 - sin² θ) = 0

⇒ 2 sin²θ cos²θ - cos²θ = 0

⇒ cos²θ (2sin² θ - 1) = 0

⇒ cos²θ (1 - 2 sin² θ) = 0

⇒ cos²θ cos²θ = 0

⇒ maka cos² θ = 0 atau, cos 2θ = 0

⇒ cos θ = 0 atau, cos 2θ = 0

⇒ θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π atau, 2θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π yaitu, θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan 2 sin² θ + sin² 2θ = 2 adalah

θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π dan θ = (2n + 1)$\frac{1}{2}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 4. Temukan solusi umum dari persamaan trigonometri cos² 3x = 0

Jawab:

cos² 3x = 0

cos 3x = 0

⇒ 3x = (2n + 1)π/2, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari persamaan yang diberikan cos θ = 0 adalah (2n + 1)$\frac{1}{2}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. ]

⇒ x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum persamaan trigonometri cos² 3x = 0 adalah x = (2n + 1)$\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 5. Berapakah solusi umum dari persamaan trigonometri sin⁸ x + cos⁸ x = $\frac{17}{32}$?

Jawab:

⇒ (sin⁴ x + cos⁴x)² - 2 sin⁴ x cos⁴ x = $\frac{17}{32}$

⇒ [(sin² x + cos²x)² - 2sin² x cos²x]² - $\frac{1}{8}$(2sinxcosx)⁴ = $\frac{17}{32}$

⇒ [1 – ½ sin² 2x]² – $\frac{1}{8}$sin⁴2x = $\frac{17}{32}$

⇒ 32[1 - sin² 2x + 14 sin⁴ 2x] - 4 sin⁴ 2x = 17

⇒ 32 - 32 sin² 2x + 8 sin⁴ 2x - 4 sin⁴ 2x - 17 = 0

⇒ 4 sin⁴ 2x - 32 sin² 2x + 15 = 0

⇒ 4 sin⁴ 2x - 2 sin² 2x - 30 sin² 2x + 15 = 0

⇒ 2 sin² 2x (2 sin² 2x - 1) - 15 (2 sin² 2x - 1) = 0