Solusi umum dari persamaan tan x = √3

Kita akan membahas tentang solusi umum dari persamaan tan x minus akar kuadrat dari 3 sama dengan 0 (yaitu, tan x - $\sqrt{3}$ = 0) atau tan x sama dengan akar kuadrat dari 3 (yaitu, tan x = $\sqrt{3}$).

Bagaimana cara mencari penyelesaian umum persamaan trigonometri tan x = $\sqrt{3}$ atau tan x - $\sqrt{3}$ = 0?

Jawab

Kita punya,

tan x - $\sqrt{3}$ = 0

⇒ tan x = $\sqrt{3}$

⇒ tan x = $\frac{1}{3}$π

Sekali lagi, tan x = $\sqrt{3}$

⇒ tan x = $\frac{1}{3}$π

⇒ tan x = (π + $\frac{1}{3}$)

⇒ tan x = tan $\frac{4}{3}$π

Misalkan O menjadi pusat lingkaran satuan. Kita tahu bahwa dalam lingkaran satuan, panjang kelilingnya adalah 2π.

Jika kita mulai dari A dan bergerak berlawanan arah jarum jam maka pada titik A, B, A ', B' dan A, panjang busur yang ditempuh adalah 0, $\frac{1}{2}$π, π, $\frac{3}{2}$π, dan 2π.

Oleh karena itu, dari lingkaran satuan di atas terlihat jelas bahwa OP lengan terakhir dari sudut θ terletak di kuadran pertama atau ketiga terakhir.

Jika OP lengan terakhir terletak di kuadran pertama, maka,

tan x = $\sqrt{3}$

⇒ tan x = cos $\frac{1}{3}$π

⇒ tan x = tan (2nπ + $\frac{1}{3}$π), Dimana n ∈ I (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, x = 2nπ + $\frac{1}{3}$π …………… .. (i)

Sekali lagi, OP lengan terakhir terletak di kuadran ketiga kemudian,

tan x = $\sqrt{3}$

⇒ tan x = cos $\frac{4}{3}$π

⇒ tan x = tan (2nπ + $\frac{4}{3}$π), Dimana n ∈ I (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, x = 2nπ + $\frac{1}{3}$π …………… .. (ii)

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan tan x - $\sqrt{3}$ = 0 adalah himpunan nilai x tak hingga yang diberikan dalam (i) dan (ii).