Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝

Bagaimana mencari solusi umum dari persamaan bentuk sin θ = sin ∝?

Buktikan bahwa penyelesaian umum dari sin θ = sin ∝ diberikan oleh θ = nπ + (-1) n ∝, n ∈ Z.

Jawab:

Kita punya,

sin θ = sin ∝

⇒ sin θ - sin ∝ = 0

⇒ 2cos $\frac{1}{2}$(θ + ∝)sin $\frac{1}{2}$(θ − ∝) = 0
Oleh karena itu, cos $\frac{1}{2}$(θ + ∝) = 0 atau, sin $\frac{1}{2}$(θ − ∝) = 0

Sekarang, dari cos $\frac{1}{2}$(θ + ∝) = 0 kita dapatkan, $\frac{1}{2}$(θ + ∝) = (2m + 1) $\frac{1}{2}$π, m ∈ Z

⇒ θ = (2m + 1) π - ∝, m ∈ Z yaitu, (kelipatan ganjil π) - ∝ ………………. (I)

Dan dari sin$\frac{1}{2}$ (θ − ∝) = 0 kita dapatkan,

$\frac{1}{2}$(θ − ∝) = mπ, m ∈ Z

⇒ θ = 2mπ + ∝, m ∈ Z yaitu, (kelipatan genap π) + ∝ ……………………. (Ii)

Sekarang menggabungkan solusi (i) dan (ii) yang kita dapatkan,

θ = nπ + (-1)ⁿ ∝, di mana n ∈ Z.

Oleh karena itu, solusi umum dari sin θ = sin ∝ adalah θ = nπ + (-1)ⁿ ∝, di mana n ∈ Z.

Catatan: Persamaan csc θ = csc ∝ setara dengan sin θ = sin ∝ (karena, csc θ = 1/sinθ dan csc ∝ = 1/sin∝). Jadi, csc θ = csc ∝ dan sin θ = sin ∝ memiliki solusi umum yang sama.

Oleh karena itu, solusi umum dari csc θ = csc ∝ adalah θ = nπ + (-1)ⁿ ∝, di mana n ∈ Z.

Contoh 1: Temukan nilai umum x yang memenuhi persamaan sin 2x = -$\frac{1}{2}$

Jawab:

sin 2x = -$\frac{1}{2}$

sin 2x = - sin $\frac{1}{6}$π

⇒ sin 2x = sin (π + $\frac{1}{6}$π)

⇒ sin 2x = sin $\frac{7}{6}$π

⇒ 2x = nπ + (-1)ⁿ $\frac{7}{6}$π, n ∈ Z

⇒ x = nπ/2 + (-1)ⁿ $\frac{7}{12}$π, n ∈ Z

Oleh karena itu solusi umum dari sin 2x = -$\frac{1}{2}$ adalah x = n$\frac{1}{2}$π + (-1)ⁿ $\frac{7}{12}$π, n ∈ Z

Contoh 2. Temukan solusi umum persamaan trigonometri sin 3θ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Jawab:

sin 3θ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ sin 3θ = sin $\frac{1}{3}$π

⇒ 3θ = = nπ + (-1)ⁿ $\frac{1}{3}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 .....

⇒ θ = nπ/3 + (-1) n $\frac{1}{9}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 .....

Oleh karena itu solusi umum dari sin 3θ = √3/2 adalah θ = n$\frac{1}{3}$π + (-1) n $\frac{1}{9}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 .....

Contoh 3. Temukan solusi umum dari persamaan csc θ = 2

Jawab:

csc θ = 2

⇒ sin θ = $\frac{1}{2}$

⇒ sin θ = sin $\frac{1}{6}$π

⇒ θ = nπ + (-1)ⁿ $\frac{1}{6}$π, di mana, n ∈ Z, [Karena, kita tahu bahwa solusi umum persamaan sin θ = sin ∝ adalah θ = 2nπ + (-1)ⁿ ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. ]

Oleh karena itu solusi umum dari csc θ = 2 adalah θ = nπ + (-1)ⁿ $\frac{1}{6}$π, di mana, n ∈ Z

Contoh 4. Temukan solusi umum dari persamaan trigonometri sin² θ = $\frac{3}{4}$.

Jawab:

sin² θ = $\frac{3}{4}$.

⇒ sin θ = ± √3/2

⇒ sin θ = sin (± $\frac{1}{3}$π)

⇒ θ = nπ + (-1)ⁿ ∙ (±$\frac{1}{3}$π), di mana, n ∈ Z

⇒ θ = nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana, n ∈ Z

Oleh karena itu solusi umum dari sin² θ = $\frac{3}{4}$ adalah θ = nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana, n ∈ Z

Persamaan Trigonometri

👉 Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉 Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2