Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

Bagaimana cara mencari solusi umum dari persamaan sin θ = 0?

Buktikan bahwa penyelesaian umum dari sin θ = 0 adalah θ = nπ, n ∈ Z

Jawab:

Menurut gambar, menurut definisi, kami memiliki,

Fungsi sinus didefinisikan sebagai rasio sisi yang berlawanan dibagi dengan sisi miring.

Misalkan O menjadi pusat lingkaran satuan. Kita tahu bahwa dalam lingkaran satuan, panjang kelilingnya adalah 2π.

Jika kita mulai dari A dan bergerak berlawanan arah jarum jam maka pada titik A, B, A ', B' dan A, panjang busur yang ditempuh adalah 0, $\frac{1}{2}$π, π, $\frac{3}{2}$π, dan 2π.

Oleh karena itu, dari lingkaran satuan di atas terlihat jelas bahwa

sin θ = $\frac{PM}{OP}$

Sekarang, sin θ = 0

⇒ $\frac{PM}{OP}$ = 0

⇒ PM = 0.

Jadi kapan sinus akan sama dengan nol?

Jelasnya, jika PM = 0 maka OP lengan terakhir dari sudut θ bertepatan dengan OX atau, OX '.

Demikian pula, lengan terakhir OP bertepatan dengan OX atau OX '

ketika θ = 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π …………… .., -π,, -2π, -3π, -4π, -5π… …….,

Yaitu, ketika θ = 0 atau kelipatan integral dari π yaitu, ketika θ = nπ di mana n ∈ Z

(yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, θ = nπ, n ∈ Z adalah solusi umum dari persamaan yang diberikan sin θ = 0

Contoh 1. Temukan solusi umum dari persamaan sin 2θ = 0

Jawab:

sin 2θ = 0

⇒ 2θ = nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….,

[Karena, kita tahu bahwa θ = nπ, n ∈ Z adalah solusi umum dari persamaan yang diberikan sin θ = 0]

⇒ θ = $\frac{1}{2}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan sin 2θ = 0 adalah θ = $\frac{1}{2}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 2. Temukan solusi umum dari persamaan sin $\frac{3}{2}$x = 0

Jawab:

sin $\frac{3}{2}$x = 0

⇒ $\frac{3}{2}$x = nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

[Karena, kita tahu bahwa θ = nπ, n ∈ Z adalah solusi umum dari persamaan yang diberikan sin θ = 0]

⇒ x = $\frac{2}{3}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan sin $\frac{3}{2}$x = 0 adalah θ = $\frac{2}{3}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 3. Cari solusi umum dari persamaan tan 3x = tan 2x + tan x

Jawab:

tan 3x = tan 2x + tan x

⇒ $\frac{sin 3x}{cos 3x}$ = $\frac{sin2x}{cos 2x}$ + $\frac{sinx}{cosx}$

⇒ $\frac{sin3x}{cos3x}$ = $\frac{sin 2x cosx + cos 2x sinx}{cos 2x cosx}$

⇒ cos 3θ sin (2x + x) = sin 3x cos 2x cos x

⇒ cos 3x sin 3x = sin 3x cos 2x cosx

⇒ cos 3x sin 3x - sin 3x cos 2x cos x = 0

⇒ sin 3x [cos (2x + x) - cos 2x cos x] = 0

⇒ sin 3x. sin 2x sin x = 0

Salah satunya, sin 3x = 0 atau, sin 2x = 0 atau, sin x = 0

⇒ 3x = nπ atau, 2x = nπ atau, x = nπ

⇒ x = $\frac{1}{3}$nπ… ..... (1) atau, x = $\frac{1}{2}$nπ… ..... (2) atau, x = nπ… ..... (3), di mana n ∈ I

Jelas, nilai x yang diberikan pada (2) adalah∶ 0, $\frac{1}{2}$π, π, $\frac{3}{2}$π, 2π, $\frac{5}{2}$π ……………., - $\frac{3}{2}$π, - π, -$\frac{3}{2}$π, …………

Jelas terlihat bahwa solusi x = $\frac{1}{2}$π, $\frac{3}{2}$π, $\frac{5}{2}$π ………, -$\frac{1}{2}$π, -$\frac{3}{2}$π, ………

Solusi di atas tidak memenuhi persamaan yang diberikan.

Selain itu, solusi (2) dan solusi (3) terkandung dalam solusi (1).

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan tan 3x = tan 2x + tan x adalah x = $\frac{3}{2}$π ,, di mana n ∈ I

Contoh 4. Temukan solusi umum dari persamaan sin² 2x = 0

Jawab:

sin² 2x = 0

sin 2x = 0

⇒ 2x = nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……., [Karena, kita tahu bahwa θ = nπ, n ∈ Z adalah solusi umum dari persamaan yang diberikan sin θ = 0]

⇒ x = $\frac{1}{2}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum persamaan sin² 2x = 0 adalah x = $\frac{1}{2}$nπ, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Persamaan Trigonometri