Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

Kita akan membahas solusi umum dari persamaan akar kuadrat 2 cos x minus 1 sama dengan 0 (yaitu, $\sqrt{2}$ cos x - 1 = 0) atau cos x sama dengan 1 dengan akar kuadrat 2 (yaitu, cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

Bagaimana cara mencari solusi umum persamaan trigonometri cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\sqrt{2}$ cos x - 1 = 0?

Jawab:

Kita punya,

$\sqrt{2}$ cos x - 1 = 0

⇒ $\sqrt{2}$ cos x = 1

⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ cos x = cos $\frac{1}{4}$π atau, cos (-$\frac{1}{4}$π)

Misalkan O menjadi pusat lingkaran satuan. Kita tahu bahwa dalam lingkaran satuan, panjang kelilingnya adalah 2π.

Jika kita mulai dari A dan bergerak berlawanan arah jarum jam maka pada titik A, B, A ', B' dan A, panjang busur yang ditempuh adalah 0, $\frac{1}{2}$π, π, $\frac{3}{2}$π, dan 2π.

Oleh karena itu, dari lingkaran satuan di atas terlihat jelas bahwa lengan terakhir OP dari sudut x terletak di kuadran pertama atau keempat.

Jika OP lengan terakhir terletak di kuadran pertama maka,

cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ cos x = cos $\frac{1}{4}$π

⇒ cos x = cos (2nπ + $\frac{1}{4}$π), Dimana n ∈ I (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, x = cos (2nπ + $\frac{1}{4}$π) …………… .. (i)

Sekali lagi, jika OP lengan terakhir dari lingkaran unit terletak di kuadran keempat, maka,

cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ cos x = cos (-$\frac{1}{4}$π)

⇒ cos x = cos (2nπ – $\frac{1}{4}$π), dimana n ∈ I (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, x = cos (2nπ + $\frac{1}{4}$π) …………… .. (ii)

Oleh karena itu, solusi umum persamaan cos x = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ adalah himpunan tak hingga dari nilai x yang diberikan dalam (i) dan (ii).