Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c

Persamaan trigonometri bentuk a cos theta ditambah b sin theta sama dengan c (yaitu a cos θ + b sin θ = c) di mana a, b, c adalah konstanta (a, b, c ∈ R) dan

$|a|\leq \sqrt{a^2+b^2}$

Untuk menyelesaikan jenis pertanyaan ini, pertama-tama kita menguranginya dalam bentuk cos θ = cos α atau sin θ = sin α.

Kami menggunakan cara berikut untuk menyelesaikan persamaan bentuk a cos θ + b sin θ = c.

(i) Pertama tulis persamaan a cos θ + b sin θ = c.

(ii) Misalkan a = r cos ∝ dan b = r sin ∝ dimana, r > 0 dan - $\frac{A}{2}$π ≤ ∝ ≤ $\frac{A}{2}$π.

Sekarang, a² + b² = r² cos² ∝ + r² sin² ∝ = r²(cos² ∝ + sin² ∝) = r²

atau,

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

dan tan ∝ = $\frac{rsin\alpha }{cos\alpha }$ = $\frac{b}{a}$ yaitu ∝ = tan⁻¹($\frac{b}{a}$).

(iii) Menggunakan substitusi pada langkah (ii), persamaan tersebut direduksi menjadi r cos (θ - ∝) = c

⇒ cos (θ - ∝) = $\frac{c}{r}$ = cos β

Sekarang, masukkan nilai a dan b ke dalam cos θ + b sin θ = c kita dapatkan,

r cos ∝ cos θ + r sin ∝ sin θ = c

⇒ r cos (θ - ∝) = c

⇒ cos (θ - ∝) = $\frac{c}{r}$ = cos β

(iv) Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah (iii) dengan menggunakan rumus cos θ = cos ∝.

cos (θ - ∝) = cos β

Oleh karena itu, θ - ∝ = 2nπ ± β

⇒ θ = 2nπ ± β + ∝ di mana n ∈ Z

dan

$cos \beta =\frac{c}{r}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Catatan: If $|c|\leq \sqrt{a^2+b^2}$ persamaan yang diberikan tidak memiliki solusi.

Dari pembahasan di atas kita mengamati bahwa a cos θ + b sin θ = c dapat diselesaikan jika | cos β | ≤ 1

⇒ $\left |\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1$

⇒ $|c|\leq \sqrt{a^2+b^2}$

Contoh 1. Selesaikan persamaan trigonometri $\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = $\sqrt{2}$.

Jawab:

$\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = $\sqrt{2}$

Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = $\sqrt{3}$, b = 1 dan c = √2.

Misalkan a = r cos ∝ dan b = r sin ∝ yaitu, $\sqrt{3}$ = r cos ∝ dan 1 = r sin ∝.

Kemudian $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+a^2}$ = 2 = 2

dan tan ∝ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ⇒ ∝ = $\frac{1}{6}$π

Mensubstitusi a = $\sqrt{3}$ = r cos ∝ dan b = 1 = r sin ∝ dalam persamaan yang diberikan $\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = $\sqrt{2}$ kita dapatkan,

r cos ∝ cos θ + r sin ∝ sin θ = $\sqrt{2}$

⇒ r cos (θ - ∝) = $\sqrt{2}$

⇒ 2 cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = $\sqrt{2}$

⇒ cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = √2/2

⇒ cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = 1/√2

⇒ cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = cos $\frac{1}{4}$π

⇒ (θ - $\frac{1}{6}$π) = 2nπ ± $\frac{1}{4}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

⇒ θ = 2nπ ± $\frac{1}{4}$π + $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

⇒ θ = 2nπ + $\frac{1}{4}$π + $\frac{1}{6}$π atau θ = 2nπ – $\frac{1}{4}$π + $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

⇒ θ = 2nπ + $\frac{5}{12}$π atau θ = 2nπ – $\frac{1}{12}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

Contoh 2. Selesaikan $\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = 1 (-2π < θ < 2π)

Jawab:

$\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = 1

Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = $\sqrt{3}$, b = 1 dan c = 1.

Misalkan a = r cos ∝ dan b = r sin ∝ yaitu, $\sqrt{3}$ = r cos ∝ dan 1 = r sin ∝.

dan Kemudian $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+a^2}$ = 2

dan tan ∝ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ⇒ ∝ = $\frac{1}{6}$π

Mensubstitusi a = $\sqrt{3}$ = r cos ∝ dan b = 1 = r sin ∝ dalam persamaan yang diberikan $\sqrt{3}$ cos θ + sin θ = $\sqrt{2}$ kita dapatkan,

r cos ∝ cos θ + r sin ∝ sin θ = 1

⇒ r cos (θ - ∝) = 1

⇒ 2 cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = 1

⇒ cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = $\frac{1}{2}$

⇒ cos (θ – $\frac{1}{6}$π) = cos $\frac{1}{3}$π

⇒ (θ – $\frac{1}{6}$π) = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

⇒ θ = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π + $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

⇒ Baik, θ = 2nπ + $\frac{1}{3}$π + $\frac{1}{6}$π (4n + 1) $\frac{1}{2}$π ……… .. (1)

atau, θ = 2nπ – $\frac{1}{3}$π + $\frac{1}{6}$π = 2nπ – $\frac{1}{6}$π ……… .. (2) Dimana 0, ± 1 , ± 2, …………

Sekarang, memasukkan n = 0 ke dalam persamaan (1) kita dapatkan, θ = $\frac{1}{2}$π,

Menempatkan n = 1 dalam persamaan (1) kita dapatkan, θ = $\frac{5}{2}$π,

Menempatkan n = -1 dalam persamaan (1) kita dapatkan, θ = - $\frac{3}{2}$π,

dan menempatkan n = 0 dalam persamaan (2) kita dapatkan, θ = - $\frac{1}{6}$π

Menempatkan n = 1 dalam persamaan (2) kita dapatkan, θ = $\frac{11}{6}$π

Menempatkan n = -1 dalam persamaan (2) kita dapatkan, θ = -$\frac{13}{6}$π

Oleh karena itu, penyelesaian persamaan trigonometri yang diperlukan √3 cos θ + sin θ = 1 dalam -2π < θ < 2π adalah θ = $\frac{A}{2}$π, -$\frac{1}{6}$π, - $\frac{A}{2}$π,$\frac{11}{6}$π.

Persamaan Trigonometri

👉 Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉 Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉 Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1

👉 Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝

👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 1