Sifat-sifat Logaritma dan Contoh Soalnya

Dalam matematika aturan/sifat logaritma atau aturan log kita bahas terutama pada fifat/aturan logaritma bersama dengan pembuktiannya. Jika siswa memahami bukti dasar hukum umum logaritma maka akan lebih mudah untuk menyelesaikan semua jenis pertanyaan di logaritma seperti ………

ü Sifat/Aturan Logaritma atau Aturan Log

ü Bagaimana cara mengubah bentuk eksponensial menjadi bentuk logaritma?

ü Bagaimana cara mengubah bentuk logaritmik menjadi bentuk eksponensial?

ü Bagaimana cara menambahkan logaritma?

ü Bagaimana cara mengurangi logaritma?

ü Bagaimana cara mengalikan logaritma?

ü Bagaimana cara membagi logaritma?

ü Bagaimana cara menulis sebagai logaritma tunggal?

ü Tuliskan bentuk sebagai logaritma tunggal?

ü Bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma?

BEBERAPA SIFAT LOGARITMA:

Sifat 1: Aturan Perkalian

^alog (MN) = ^alog M + ^alog N

BUKTI:

^alog (MN) = ^alog M + ^alog N

Misalkan ^alog M = x ⇒ a^x = M

dan ^alog N = y ⇒ a^y = N

Sekarang a^x. a^y = M^N atau, a^{x + y} = MN

Oleh karena itu dari definisi, kita dapatkan

^alog (MN) = x + y = ^alog M + ^alog N [letakkan nilai x dan y]

Hukum ini juga benar untuk lebih dari dua faktor positif yaitu,

^alog (MNP) = ^alog M + ^alog N + ^alog P

karena, ^alog (MNP) = ^alog (MN) + ^alog P = ^alog M + ^alog N + ^alog P

Oleh karena itu secara umum

^alog (MNP… ....) = ^alog M + ^alog N + ^alog P + ……. .

Oleh karena itu, logaritma dari hasil perkalian dua atau lebih faktor positif ke basis positif apa pun selain 1 sama dengan jumlah logaritma faktor-faktor ke basis yang sama.

Sifat 2: Aturan Pembagian

^alog (M/N) = ^alog M - ^alog N

BUKTI:

^alog (M/N) = ^alog M - ^alog N

Misalkan ^alog M = x ⇒ a^x = M

dan ^alog N = y ⇒ a^y = N

Sekarang a^x/a^y = M/N atau, a^{x - y} = M/N

Oleh karena itu dari definisi yang kami miliki,

^alog (M/N) = x - y = ^alog M - ^alog N [letakkan nilai x dan y]

Hukum ini juga benar untuk lebih dari dua faktor positif yaitu,

^alog [(M × N × P)/(R × S × T)] = ^alog (M × N × P) - ^alog (R × S × T)

= ^alog M + ^alog N + ^alog P - (^alog R + ^alog S + ^alog T)

Rumus aturan hasil bagi [^alog (M/N) = ^alog M - ^alog N] dinyatakan sebagai berikut: Logaritma hasil bagi dua faktor ke basa positif apa pun selain I sama dengan selisih logaritma faktor ke pangkalan yang sama.

Sifat 3: Aturan Perpangkatan

^alog Mⁿ = n ^alog M

BUKTI:

^alog Mⁿ = n ^alog M

Misalkan ^alog Mⁿ = x ⇒ a^x = Mⁿ

dan ^alog M = y ⇒ a^y = M

Sekarang, a^x = Mⁿ = (a^y)ⁿ = a^ny

Oleh karena itu, x = ny or, ^alog Mn = n ^alog M [letakkan nilai x dan y].

Sifat 3: ^alog M = ^blog M × ^alog b

BUKTI:

^alog M = ^Blog M × ^alog b

Misalkan ^alog M = x ⇒ a^x = M,

^alog M = y ⇒ b^y = M,

dan ^alog b = z ⇒ a^z = b.

Sekarang, a^x = M = b^y - (a^z)y = a^yz

Oleh karena itu x = yz or, ^alog M = ^blog M × ^alog b [letakkan nilai x, y, dan z].

Hukum ini juga benar untuk lebih dari dua faktor positif yaitu,

(i) Menempatkan M = a di kedua sisi rumus perubahan aturan dasar [^alog M = ^alog M × ^alog b]

kita dapatkan,

^alog a = ^blog a × ^blog b or, ^blog a × ^alog b = 1 [karena, ^alog a = 1]

atau, ^blog a = 1/^alog b

yaitu, logaritma bilangan positif a terhadap bilangan pokok b (≠ 1) sama dengan kebalikan dari logaritma b terhadap bilangan pokok a.

(ii) Dari perubahan log rumus aturan dasar yang kita dapatkan,

^blog M = ^alog M/^alog b

yaitu, logaritma bilangan positif M terhadap bilangan pokok b (≠ 1) sama dengan hasil bagi dari logaritma bilangan M dan logaritma bilangan b keduanya sehubungan dengan bilangan pokok positif apa pun a (≠ 1).

catatan:

(i) Rumus logaritma ^alog M = ^blog M ×^alog b disebut rumus perubahan bilangan pokok.

(ii) Jika basis/bilangan pokok tidak disebutkan dalam logaritma masalah, asumsikan basis yang sama untuk semua logaritma.

RANGKUMAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA ATAU ATURAN LOG:

Jika M > 0, N > 0, a > 0, b > 0 dan a ≠ 1, b ≠ 1 dan n adalah bilangan real apa pun, maka

(i) loga 1 = 0

(ii) loga a = 1

(iii) ^aIog a^M = M

(iv) ^aIog (MN) = ^aIog M + ^aIog N

(v) ^aIog (M/N) = ^aIog M - ^aIog N

(vi) ^aIog Mⁿ = n ^aIog M

(vii) ^aIog M = ^bIog M × ^aIog b