Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

Kita akan belajar menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan rumus.

Di sini kita akan menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan solusi dari persamaan trigonometri.

(a) Jika sin θ = 0 maka θ = nπ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(b) Jika cos θ = 0 maka θ = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(d) Jika sin θ = sin ∝ maka θ = nπ + (-1)ⁿ ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(e) Jika a cos θ + b sin θ = c maka θ = 2nπ + ∝ ± β, di mana cos β = $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cos ∝ = $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dan sin ∝ = $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 1. Pecahkan tan x + sec x = $\sqrt{3}$. Temukan juga nilai x antara 0° dan 360°.

Jawab:

tan x + sec x = $\sqrt{3}$

⇒ $\frac{sinx}{cosx}$ + $\frac{1}{cosx}$ = $\sqrt{3}$, di mana cos x ≠ 0

⇒ sin x + 1 = $\sqrt{3}$ cos x

⇒ $\sqrt{3}$ cos x - sin x = 1,

Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = $\sqrt{3}$, b = -1 dan c = 1.

⇒ Sekarang membagi kedua sisi dengan $\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$

⇒ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos x – $\frac{1}{2}$sin x = $\frac{1}{2}$

⇒ cos x cos $\frac{1}{4}$π - sin x sin $\frac{1}{6}$π = cos $\frac{1}{3}$π

⇒ cos (x + $\frac{1}{6}$π) = cos $\frac{1}{3}$π

⇒ x + $\frac{1}{6}$π = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

⇒ x = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Saat kita mengambil tanda minus dengan $\frac{1}{3}$π, kita dapatkan

x = 2nπ – $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π

⇒ x = 2nπ – $\frac{1}{2}$π, sehingga cos x = cos (2nπ – $\frac{1}{2}$π) = cos $\frac{1}{2}$π = 0, yang merusak asumsi cos x ≠ 0 (jika tidak, persamaan yang diberikan tidak akan berarti).

Jadi, x = 2nπ + $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

⇒ x = 2nπ + $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. adalah jenderal

solusi dari persamaan yang diberikan tan x + sec x = √3.

Satu-satunya solusi antara 0 ° dan 360 ° adalah x = $\frac{1}{6}$π = 30°

Contoh 2. Tentukan solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$

Jawab:

sec θ = - $\sqrt{2}$

⇒ cos θ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ cos θ = - cos $\frac{1}{4}$π

⇒ cos θ = cos (π – $\frac{1}{4}$π)

⇒ cos θ = cos $\frac{3}{4}$π

⇒ θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$ adalah θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 3. Selesaikan persamaan 2 cos² x + 3 sin x = 0

Jawab:

2 cos² x + 3 sin x = 0

⇒ 2 (1 - sin² x) + 3 sin x = 0

⇒ 2 - 2 sin² x + 3 sin x = 0

⇒ 2 sin² x - 3 sin x - 2 = 0

⇒ 2 sin² x - 4 sin x + sin x - 2 = 0

⇒ 2 sin x (sin x - 2) + 1 (sin - 2) = 0

⇒ (sin x - 2)(2 sin x + 1) = 0

⇒ sin x - 2 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0

Tapi sin x - 2 = 0 yaitu, sin x = 2, yang tidak mungkin.

Sekarang bentuk 2 sin x + 1 = 0 yang kita dapatkan

⇒ sin x = -$\frac{1}{2}$

⇒ sin x = - sin $\frac{1}{6}$π

⇒ sin x = sin (π + $\frac{1}{6}$π)

⇒ sin x = sin $\frac{7}{6}$π

⇒ x = nπ + (1)ⁿ $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi untuk persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0 adalah

x = nπ + (1)ⁿ $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Catatan: Dalam persamaan trigonometri di atas kita amati bahwa ada lebih dari satu fungsi trigonometri. Jadi, identitas (sin²θ + cos²θ = 1) diperlukan untuk mereduksi persamaan yang diberikan menjadi satu fungsi.

Contoh 4. Temukan solusi umum dari cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

Jawab:

cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

⇒cos x - cos 2x - sin 2x + sin x = 0

⇒ (cos x - cos 2x) - (sin 2x - sin x) = 0

⇒ 2 sin $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x - 2 cos $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x = 0

⇒ sin x/2 (sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x) = 0

Oleh karena itu, sin $\frac{1}{2}$x = 0

⇒ $\frac{1}{2}$x = nπ

⇒ x = 2nπ

atau, sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x = 0

⇒ sin $\frac{3}{2}$x = cos $\frac{3}{2}$x