Untuk membuktikan identitas yang melibatkan sinus dan cosinus kita menggunakan algoritma berikut.
Langkah I: Ubah jumlah dari dua suku pertama sebagai hasil kali dengan menggunakan salah satu rumus berikut:
sin C + sin D = 2 sin $\frac{1}{2}$(C + D) cos $\frac{1}{2}$(C – D)
sin C - sin D = 2 cos $\frac{1}{2}$(C + D) sin$\frac{1}{2}$ (C – D)
cos C + cos D = 2 cos $\frac{1}{2}$(C + D) cos $\frac{1}{2}$(C – D)
cos C - cos D = - 2 sin $\frac{1}{2}$(C + D) sin$\frac{1}{2}$ (C – D)
Langkah II: Dalam hasil perkalian di langkah II gantikan jumlah dua sudut dalam ketiga dengan menggunakan relasi yang diberikan.
Langkah III: Perluas suku ketiga dengan menggunakan salah satu rumus berikut:
sin 2θ = 2 sin θ cos θ,
cos 2θ = 2 cos2 θ - 1
cos 2θ = 1 - 2 sin2 θ dll.
Langkah IV: Ambil faktor persekutuan di luar.
Langkah V: Nyatakan perbandingan trigonometri dari sudut tunggal
Langkah VI: Gunakan salah satu rumus yang diberikan pada langkah I untuk mengubah jumlah menjadi perkalian.
Contoh identitas yang melibatkan sinus dan cosinus:
Contoh 1. Jika A + B + C = π buktikan bahwa,
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
Jawab:
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C
= 2 sin $\frac{1}{2}$(2A + 2B) cos $\frac{1}{2}$(2A − 2B) + sin 2C
= 2 sin (A + B) cos (A - B) + sin 2C
= 2 sin (π - C) cos (A - B) + sin 2C,
[Karena, A + B + C = π ⇒ A + B = π - C]
= 2 sin C cos (A - B) + 2 sin C cos C,
[Karena sin (π - C) = sin C]
= 2 sin C [cos (A - B) + cos C], mengambil 2 sin C
= 2 sin C [cos (A - B) + cos {π - (A + B)}],
[Karena A + B + C = π ⇒ C = π - (A + B)]
= 2 sin C [cos (A - B) - cos (A + B)],
[Karena cos {π - (A + B)} = - cos (A + B)]
= 2 sin C [2 sin A sin B],
[Karena cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A sin B]
= 4 sin A sin B sin C. Terbukti.
Contoh 2. Jika A + B + C = π buktikan bahwa, cos 2A + cos 2B - cos 2C = 1- 4 sin A sin B cos C.
Jawab:
= cos 2A + cos 2B - cos 2C
= (cos 2A + cos 2B) - cos 2C
= 2 cos $\frac{1}{2}$(2A + 2B) cos$\frac{1}{2}$ (2A − 2B) - cos 2C
= 2 cos (A + B) cos (A- B) - cos 2C
= 2 cos (π - C) cos (A- B) - cos 2C,
[Karena kita tahu A + B + C = π ⇒A + B = π - C]
= - 2 cos C cos (A - B) - (2 cos2 C - 1),
[Karena cos (π - C) = - cos C]
= - 2 cos C cos (A - B) - 2 cos2 C + 1
= - 2 cos C [cos (A - B) + cos C] + 1
= -2 cos C [cos (A - B) - cos (A + B)] + 1,
[Karena cos C = - cos (A + B)]
= -2 cos C [2 sin A sin B] + 1,
[Karena cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A sin B]
= 1 - 4 sin A sin B cos C. Terbukti.
Identitas Trigonometri
- Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)
- Identitas Trigonometri yang MelibatkanSinus dan Cosinus sudut Rangkap (Contoh soal dan Pembahasan)
- Identitas yang Melibatkan Kuadrat Sinusdan Cosinus (Soal dan Pembahasannya)
- Kuadrat Identitas yang MelibatkanKuadrat Sinus dan Cosinus (Soal danPembahasannya)
- Identitas yang Melibatkan tangen dancotangen (Contoh Soal dan Pembahasannya)
- Identitas Trigonometri Tangen danCotangen dari Sudut rangkap (Soal dan Pembahasannya)
Post a Comment for "Identitas Trigonometri yang Melibatkan Sinus dan Kosinus (Contoh soal dan Pembahasan)"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!