Rumus-rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perbandingan trigonometri penting dari rumus sudut gabungan diberikan di bawah ini:

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
5. sin (A + B) sin (A - B) = sin² A - sin²B = cos² B - cos² A
6. cos (A + B) cos (A - B) = cos² A - sin² B = cos² B - sin² A
7. tan (A + B) = $\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$ 
8. tan (A - B) = $\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$ 
9. cot (A + B) = $\frac{cotAcotB - 1}{cotB + cotA}$ 
10. cot (A - B) = $\frac{cotA + cot B + 1}{cotB - cotA}$
11. sin (A + B + C) = cos A cos B cos C (tan A + tan B + tan C - tan A tan B tan C).
12. sin (A - B + C) = sin A cos B cos C - cos A sin B cos C + cos A cos B sin C + sin A sin B sin C.
13. cos (A + B + C) = cos A cos B cos C (1 - tan A tan B - tan C tan A - tan B tan C)
14. tan (A + B + C) =$\frac{tanA + tan B + tan C - tanA tanB tanC}{1-tanAtanB - tanBtanB - tanC tanA}$  

Sekarang kita akan belajar bagaimana menggunakan rumus di atas untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah trigonometri pada sudut majemuk.

Contoh 1. 

Menggunakan rumus cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B membuktikan bahwa cos ($\frac{1}{2}$π - x) = sin x, untuk semua bilangan real x.

Jawab:

cos ($\frac{1}{2}$π - x) = cos ($\frac{1}{2}$π) cos x + sin ($\frac{1}{2}$π) sin x,

[Menerapkan rumus cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B]

= 0 × cos x + 1 × sin x,

[Karena kita tahu bahwa cos $\frac{1}{2}$π = 0 dan sin $\frac{1}{2}$π = 1]

= 0 + sin x

= sin x Terbukti

Karena itu cos ($\frac{1}{2}$π - x) = sin x.

Contoh 2
Menggunakan rumus cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B membuktikan bahwa cos ($\frac{1}{2}$π + x) = - sin x, untuk semua bilangan real x.

Jawab:
cos ($\frac{1}{2}$π + x) = cos ($\frac{1}{2}$π) cos x - sin ($\frac{1}{2}$π) sin x,

[Menerapkan rumus cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B]

= 0 × cos x - 1 × sin x,

[Karena kita tahu bahwa cos $\frac{1}{2}$π = 0 dan sin $\frac{1}{2}$π = 1]

= 0 - sin x

= - sin x. Terbukti

Karena itu cos ($\frac{1}{2}$π + x) = -sin x

Contoh 3.
Menggunakan rumus sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B membuktikan bahwa sin ($\frac{1}{2}$π + x) = cos x, untuk semua bilangan real x.

Jawab:
sin ($\frac{1}{2}$π + x) = sin ($\frac{1}{2}$π) cos x + cos ($\frac{1}{2}$π) sin x,

[Menerapkan rumus dosa (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

= 1 × cos x + 0 × sin x, [Karena kita tahu bahwa sin $\frac{1}{2}$π = 1 dan cos $\frac{1}{2}$π = 0]

= cos x + 0

= cos x. Terbukti

Karena itu sin ($\frac{1}{2}$π + x) = cos x

Contoh 4.
Menggunakan rumus sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B membuktikan bahwa sin ($\frac{1}{2}$π - x) = cos x, untuk semua bilangan real x.

Jawab:
sin ($\frac{1}{2}$π - x) = sin ($\frac{1}{2}$π) cos x - cos ($\frac{1}{2}$π) sin x,

[Menerapkan rumus sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B]

= 1 × cos x - 0 × sin x,

[Karena kita tahu bahwa sin $\frac{1}{2}$π = 1 dan cos $\frac{1}{2}$π = 0]

= cos x - 0

= cos x. Terbukti

Karena itu sin ($\frac{1}{2}$π - x) = cos x

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 

Location:

Share :