Kita akan belajar untuk mengekspresikan fungsi trigonometri dari sin 2A kemudian dinyatakan dalam A. Kita tahu jika A adalah sudut yang diberikan maka 2A dikenal sebagai sudut ganda (sudut rangkap).
Bagaimana membuktikan rumus sin 2A sama dengan 2 sin A cos A?
Kita tahu bahwa untuk dua bilangan real atau sudut A dan B,
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Sekarang, kita menempatkan B = A di kedua sisi rumus di atas,
sin (A + A) = sin A cos A + sin A cos A
⇒ sin 2A = 2 sin A cos A
Rumus di atas juga dikenal sebagai rumus sudut ganda untuk sin 2A.
Sekarang, kita akan menerapkan rumus sin 2A untuk menyelesaikan masalah di bawah ini.
Contoh 1.
Ekspresikan sin 8A dalam hal sin 4A dan cos 4A
Jawab:
sin 8A = sin (2 ∙ 4A)
sin 8A = 2 sin 4A cos 4A
[Karena, kita tahu sin 2A = 2 sin A cos A]
Contoh 2
Jika sin A = $\frac{3}{5}$ temukan nilai-nilai sin 2A.
Jawab:
Diberikan, sin A = $\frac{3}{5}$
Kita tahu juga, sin2 A + cos2 A = 1
cos2 A = 1 - sin2 A
cos2 A = 1 - (3/5)2
cos2 A = 1 – $\frac{9}{25}$
cos2 A = $\frac{16}{25}$
cos A = $\frac{4}{5}$
maka
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2 ∙ $\frac{3}{5}$ ∙ $\frac{4}{5}$
= $\frac{24}{25}$
Contoh 3
Buktikan bahwa, 16 cos ($\frac{2}{15}$π) cos ($\frac{4}{15}$π) cos ($\frac{8}{15}$π) cos ($\frac{16}{15}$π) = 1.
Jawab:
Misalkan, $\frac{2}{15}$π = θ, maka
16 cos ($\frac{2}{15}$π) cos ($\frac{4}{15}$π) cos ($\frac{8}{15}$π) cos ($\frac{16}{15}$π)
= 16 cos θ cos 2θ cos 4θ cos 8θ, [Karena, θ = $\frac{2}{15}$π]
= $\frac{8}{sin\theta }$ (2 sin θ cos θ) cos 2θ cos 4θ cos 8θ
= $\frac{4}{sin\theta}$ (2 sin 2θ cos 2θ) cos 4θ cos 8θ
= $\frac{2}{sin\theta}$ (2 sin 4θ cos 4θ) cos 8θ
= $\frac{1}{sin\theta}$ (2 sin 8θ cos 8θ)
= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin 16θ
= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (15θ + θ)
= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (2π + θ), [karena, 2π/15 = θ ⇒15θ = 2π]
= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (θ), [Karena, sin (2π + θ) = sin θ]
= 1. Terbukti
Post a Comment for "Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap) Sin 2A"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!