Kita akan belajar bagaimana mengekspresikan sudut pandang ganda dari sin 3A dalam sin A.
Fungsi trigonometri dari sin 3A dalam sin A juga dikenal sebagai salah satu rumus sudut ganda.
Jika A adalah angka atau sudut yang kita miliki, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A.
Sekarang kita akan membuktikan formula beberapa sudut di atas langkah demi langkah.
Bukti:
sin 3A = sin (2A + A)
= sin 2A cos A + cos 2A sin A
= 2 sin A cos A ∙ cos A + (1 - 2 sin2 A) sin A
= 2 sin A (1 - sin2 A) + sin A - 2 sin3 A
= 2 sin A - 2 sin3 A + sin A - 2 sin3 A
= 3 sin A - 4 sin3 A
Karena itu, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
Contoh 1
Buktikan bahwa sin A ∙ sin (600 - A) sin (60 + A) = $\frac{1}{4}$ sin 3A.
Jawab:
sin A ∙ sin (60° - A) sin (60 ° + A)
= sin A (sin2 60° - sin2 A), [Karena, sin (A + B) sin (A - B) = sin2 A - sin2 B]
= sin A [$\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2$ - sin2 A), [Karena kita tahu bahwa sin 60° = $\frac{1}{2}$]
= sin A ($\frac{3}{4}$ - sin2 A)
= $\frac{1}{4}$sin A (3 - 4 sin2 A)
= $\frac{1}{4}$ (3 sin A - 4 sin3 A)
Sekarang terapkan rumus dosa 3A dalam hal A
= $\frac{1}{4}$ sin 3A. Terbukti
Contoh 2
Jika cos θ = $\frac{12}{13}$ tentukan nilai sin 3θ.
Jawab:
Diberikan, cos A = $\frac{12}{13}$
Kita tahu bahwa sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 - cos2A
⇒ sin A = $\sqrt{1-cos^2A}$
Karena itu, sin A = $\sqrt{1-\left ( \frac{12}{13} \right )^2}$
⇒ sin A = $\sqrt{1-\left ( \frac{144}{169} \right )}$
⇒ sin A = $\sqrt{\frac{25}{169}}$
⇒ sin A = $\frac{5}{13}$
Sekarang, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
= 3 ∙ $\frac{5}{13}$ - 4 ∙ $\left ( \frac{5}{13} \right )^3$
= $\frac{15}{13}$ - $\frac{500}{2199}$
= $\frac{(2535-500)}{2199}$
= $\frac{2035}{2199}$
Contoh 3
Tunjukkan bahwa, sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A) = - $\frac{3}{4}$ sin 3A.
Jawab:
sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A)
= $\frac{1}{4}$ [4 sin3 A + 4 sin3 (120° + A) + 4 sin3 (240° + A)]
= $\frac{1}{4}$ [3 sin A - sin 3A + 3 sin (120° + A) - sin 3 (120° + A) + 3 sin (240° + A) - sin 3 (240° + A)]
[Karena kita tahu itu, sin 3A = 3 sin 3A - 4 sin3 A ⇒ 4 sin3 A = 3 sin A - sin 3A]
= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + sin (120 ° + A) + sin (240 ° + A)} - {sin 3A + sin (360 ° + 3A) + sin (720 ° + 3A)}]
= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + 2 sin (180 ° + A) cos 60 °) - (sin 3A + sin 3A + sin 3A)}
= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + 2 ∙ (- sin A) ∙ $\frac{1}{2}$} - 3 sin A]
= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A - sin A} - 3 sin A]
= - $\frac{3}{4}$ sin 3A. Terbukti
Post a Comment for "Pembuktian Rumus Trigonometri sin 3A dalam sin A"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!