Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti sin rumus sudut majemuk (α + β). Di sini kita akan memperoleh rumus untuk fungsi trigonometri dari penjumlahan dua bilangan real atau sudut dan hasil terkaitnya. Hasil dasar disebut identitas trigonometri.
Perluasan sin (α + β) umumnya disebut rumus penambahan. Dalam bukti geometris dari rumus penambahan kita mengasumsikan bahwa α, β dan (α + β) adalah sudut kemiringan positif. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.
Sekarang kita akan membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α + β < 90 °.
Misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awal ke posisi OX ke posisi akhirnya OY menghasilkan ∠XOY = α.
Sekali lagi, garis yang berputar berputar lebih jauh ke arah yang sama dan mulai dari posisi OY menghasilkan ∠YOZ = β.
Dengan demikian, ∠XOZ = α + β < 90 °.
Kita seharusnya membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Sketsa: Pada garis pembatas dari sudut senyawa (α + β) ambil titik A pada OZ, dan gambarlah AB dan AC secara tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan AB masing-masing.
Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠ECO = alternatif ∠COX = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,
Contoh Soal 2
Dari rumus sin (α + β) carilah rumus cos (α + β) dan cos (α - β)!
Jawab:
Kita tahu itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β …… .. (i)
Mengganti α dengan (90° + α) di kedua sisi (i) kita dapatkan,
sin (90° + α + β)
= sin {(90° + α) + β} = sin (90° + α) cos β + cos (90° + α) sin β, [Menerapkan rumus sin (α + β)]
⇒ sin {90° + (α + β)} = cos α cos β - sin α sin β, [karena sin (90° + α) = cos α dan cos (90° + α) = - sin α]
⇒ cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β …… .. (ii)
Sekali lagi, mengganti β dengan (-β) di kedua sisi (ii) kita dapatkan,
cos (α - β) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
⇒ cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β, [karena cos (- β) = cos β dan sin (- β) = - sin β]
Contoh Soal 3:
Jika sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua, cari nilai sin (x + y).
Jawab:
Diketahui, sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua.
Kita tahu bahwa cos2 x = 1 - sin2 x = 1 - $\left (\frac{3}{5} \right )^2$ = 1 – $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$
⇒ cos x = ±$\frac{4}{5}$.
Karena x terletak di kuadran kedua, cos x adalah negatif
Karena itu, cos x = -$\frac{4}{5}$.
Juga, sin2 y = 1 - cos2y = 1 - $\left (- \frac{12}{13} \right )^2$ = 1 – $\frac{144}{169}$ = $\frac{25}{169}$
⇒ sin y = ± $\frac{5}{13}$
Karena y terletak di kuadran kedua, sin y adalah positif
Karena itu, sin y = $\frac{5}{13}$
Sekarang, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= $\frac{3}{5}$. $-\frac{12}{13}$ + $-\frac{4}{5}$.$\frac{5}{13}$
= -$\frac{36}{65}$– $\frac{20}{65}$
= -$\frac{56}{65}$
Contoh Soal 4
Jika msin (α + x) = n sin (α + y), tunjukkan bahwa, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$
Jawab:
Diberikan, m sin (α + x) = n sin (α + y)
Oleh karena itu, m (sin α cos x + cos α sin x) = n (sin α cos y + cos α sin y), [Menerapkan rumus sin (α + β)]
m sin α cos x + m cos α sin x = n sin α cos y + n cos α sin y,
atau, m sin α cos x - n sin α cos y = n cos α sin y - m cos α cos x
atau, sin α (m cos x - n cos y) = cos α (n sin y - m sin x)
atau, $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$= $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$.
atau, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$. Terbukti.
Perluasan sin (α + β) umumnya disebut rumus penambahan. Dalam bukti geometris dari rumus penambahan kita mengasumsikan bahwa α, β dan (α + β) adalah sudut kemiringan positif. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.
Sekarang kita akan membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α + β < 90 °.
Misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awal ke posisi OX ke posisi akhirnya OY menghasilkan ∠XOY = α.
Sekali lagi, garis yang berputar berputar lebih jauh ke arah yang sama dan mulai dari posisi OY menghasilkan ∠YOZ = β.
Dengan demikian, ∠XOZ = α + β < 90 °.
Kita seharusnya membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Sketsa: Pada garis pembatas dari sudut senyawa (α + β) ambil titik A pada OZ, dan gambarlah AB dan AC secara tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan AB masing-masing.
Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠ECO = alternatif ∠COX = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,
sin (α + β) = $\frac{AB}{OA}$
= $\frac{(AE+EB)}{OA}$
= $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{EB}{OA}$
= $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{CD}{OA}$
= $\frac{AE}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$ + $\frac{CD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$
= cos ∠EAC sin β + sin α cos β
= sin α cos β + cos α sin β, (karena kita tahu, ∠EAC = α)
Karena itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. (TERBUKTI)
Contoh Soal 1:
Tentukan Sin 75°!
Jawab:
Sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45°cos 30° + cos 45° sin 300
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
= $\frac{(AE+EB)}{OA}$
= $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{EB}{OA}$
= $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{CD}{OA}$
= $\frac{AE}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$ + $\frac{CD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$
= cos ∠EAC sin β + sin α cos β
= sin α cos β + cos α sin β, (karena kita tahu, ∠EAC = α)
Karena itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. (TERBUKTI)
Contoh Soal 1:
Tentukan Sin 75°!
Jawab:
Sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45°cos 30° + cos 45° sin 300
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
Contoh Soal 2
Dari rumus sin (α + β) carilah rumus cos (α + β) dan cos (α - β)!
Jawab:
Kita tahu itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β …… .. (i)
Mengganti α dengan (90° + α) di kedua sisi (i) kita dapatkan,
sin (90° + α + β)
= sin {(90° + α) + β} = sin (90° + α) cos β + cos (90° + α) sin β, [Menerapkan rumus sin (α + β)]
⇒ sin {90° + (α + β)} = cos α cos β - sin α sin β, [karena sin (90° + α) = cos α dan cos (90° + α) = - sin α]
⇒ cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β …… .. (ii)
Sekali lagi, mengganti β dengan (-β) di kedua sisi (ii) kita dapatkan,
cos (α - β) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
⇒ cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β, [karena cos (- β) = cos β dan sin (- β) = - sin β]
Contoh Soal 3:
Jika sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua, cari nilai sin (x + y).
Jawab:
Diketahui, sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua.
Kita tahu bahwa cos2 x = 1 - sin2 x = 1 - $\left (\frac{3}{5} \right )^2$ = 1 – $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$
⇒ cos x = ±$\frac{4}{5}$.
Karena x terletak di kuadran kedua, cos x adalah negatif
Karena itu, cos x = -$\frac{4}{5}$.
Juga, sin2 y = 1 - cos2y = 1 - $\left (- \frac{12}{13} \right )^2$ = 1 – $\frac{144}{169}$ = $\frac{25}{169}$
⇒ sin y = ± $\frac{5}{13}$
Karena y terletak di kuadran kedua, sin y adalah positif
Karena itu, sin y = $\frac{5}{13}$
Sekarang, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= $\frac{3}{5}$. $-\frac{12}{13}$ + $-\frac{4}{5}$.$\frac{5}{13}$
= -$\frac{36}{65}$– $\frac{20}{65}$
= -$\frac{56}{65}$
Contoh Soal 4
Jika msin (α + x) = n sin (α + y), tunjukkan bahwa, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$
Jawab:
Diberikan, m sin (α + x) = n sin (α + y)
Oleh karena itu, m (sin α cos x + cos α sin x) = n (sin α cos y + cos α sin y), [Menerapkan rumus sin (α + β)]
m sin α cos x + m cos α sin x = n sin α cos y + n cos α sin y,
atau, m sin α cos x - n sin α cos y = n cos α sin y - m cos α cos x
atau, sin α (m cos x - n cos y) = cos α (n sin y - m sin x)
atau, $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$= $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$.
atau, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$. Terbukti.
Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
- Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
- Pembuktian Identitas sin2 α - sin2 β
- Pembuktian Identitas cos2 α - sin2 β
- Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
- Perluasan sin (A + B + C)
- Perluasan sin (A - B + C)
- Perluasan cos (A + B + C)
- Perluasan tan (A + B + C)
- Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
Post a Comment for "Pembuktian Rumus Penjumlahan sin (α + β)"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!