Kita akan belajar langkah demi langkah bukti rumus sudut majemuk cos (α + β). Di sini kita akan memperoleh rumus untuk fungsi trigonometri dari penjumlahan dua bilangan real atau sudut dan hasil terkaitnya. Hasil dasar disebut identitas trigonometri.
Perluasan cos (α + β) umumnya disebut rumus identitas. Dalam bukti geometris dari rumus penambahan kita mengasumsikan bahwa α, β dan (α + β) adalah sudut kemiringan positif. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.
Sekarang kita akan membuktikan bahwa, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α + β < 90 °.
Misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awal ke posisi awalnya OX menghasilkan ∠XOY = α.
Sekali lagi, garis yang berputar berputar lebih jauh ke arah yang sama dan mulai dari posisi OY menghasilkan YOZ = β kemiringan.
Dengan demikian, ∠XOZ = α + β < 90 °.
Kita seharusnya membuktikan bahwa, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β.
Sketsa: Pada garis pembatas dari sudut (α + β) ambil titik A pada OZ, dan gambarlah AB dan AC secara tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan AB masing-masing.
Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠ECO = alternatif ∠COX = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,
Contoh Soal 1: Tentukan cos 75°!
Jawab:
karena 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° - sin 45° sin 300
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
Contoh Soal 2. Tentukan nilai cos 105°
Jawab:
Diberikan, cos 105° = cos (45° + 60°)
= cos 45° cos 60° - sin 45° sin 60°
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
= $\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
Contoh Soal 3.
= $\frac{6}{5\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{5\sqrt{2}}$
= $\frac{5}{5\sqrt{2}}$
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$
⇒ cos (A + B) = cos $\frac{1}{4}$π
Karena itu, A + B = $\frac{1}{4}$π.
Contoh Soal 4.
Jawab:
cos ($\frac{1}{4}$π - A) cos ($\frac{1}{4}$π - B) - dosa ($\frac{1}{4}$π - A) sin ($\frac{1}{4}$π - B)
= cos {($\frac{1}{4}$π - A) + ($\frac{1}{4}$π - B)}
= cos ($\frac{1}{4}$π - A + $\frac{1}{4}$π - B)
= cos ($\frac{1}{2}$π - A - B)
= cos [$\frac{1}{2}$π - (A + B)]
= sin (A + B) Terbukti.
Contoh Soal 5.
Jawab:
sec (A + B) = $\frac{1}{cos (A + B)}$
= $\frac{1}{cos A cos B - sin A sin B}$, [Menerapkan rumus cos (A + B)]
Dan [membagi pembilang dan penyebut dengan cos A cos B]
sec (A + B) = $\frac{secA secB}{1 - tanAtanB}$. Terbukti
Perluasan cos (α + β) umumnya disebut rumus identitas. Dalam bukti geometris dari rumus penambahan kita mengasumsikan bahwa α, β dan (α + β) adalah sudut kemiringan positif. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.
Sekarang kita akan membuktikan bahwa, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α + β < 90 °.
Misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awal ke posisi awalnya OX menghasilkan ∠XOY = α.
Sekali lagi, garis yang berputar berputar lebih jauh ke arah yang sama dan mulai dari posisi OY menghasilkan YOZ = β kemiringan.
Dengan demikian, ∠XOZ = α + β < 90 °.
Kita seharusnya membuktikan bahwa, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β.
Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠ECO = alternatif ∠COX = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,
cos (α + β) = $\frac{OB}{OA}$
= $\frac{(OD-DB)}{OA}$
= $\frac{OD}{OA}$ - $\frac{DB}{OA}$
= $\frac{OD}{OA}$ - $\frac{EC}{OA}$
= $\frac{OD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$ - $\frac{EC}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$
= cos α cos β - sin ∠EAC sin β
= cos α cos β - sin α sin β, (karena kita tahu, ∠EAC = α)
Oleh karena itu, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Terbukti
= $\frac{(OD-DB)}{OA}$
= $\frac{OD}{OA}$ - $\frac{DB}{OA}$
= $\frac{OD}{OA}$ - $\frac{EC}{OA}$
= $\frac{OD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$ - $\frac{EC}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$
= cos α cos β - sin ∠EAC sin β
= cos α cos β - sin α sin β, (karena kita tahu, ∠EAC = α)
Oleh karena itu, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Terbukti
Contoh Soal 1: Tentukan cos 75°!
Jawab:
karena 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° - sin 45° sin 300
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$
= $\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
Contoh Soal 2. Tentukan nilai cos 105°
Jawab:
Diberikan, cos 105° = cos (45° + 60°)
= cos 45° cos 60° - sin 45° sin 60°
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
= $\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
Contoh Soal 3.
Jika sin A = $\frac{1}{\sqrt{10}}$, cos B = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dan A, B adalah sudut kemiringan positif, maka cari nilai (A + B).
Jawab:
Karena kita tahu itu, cos2 A = 1 - sin2 A
= 1 - $\left (\frac{1}{\sqrt{10}} \right )^2$
= 1 – $\frac{1}{10}$
= $\frac{9}{10}$
cos A = ± $\frac{3}{\sqrt{10}}$
Oleh karena itu, cos A = $\frac{3}{\sqrt{10}}$, (karena, A adalah sudut kemiringan positif)
Sekali lagi,
sin2 B = 1 - cos2 B
= 1 - $\left (\frac{2}{\sqrt{5}} \right )^2$
= 1 – $\frac{4}{5}$
= $\frac{1}{5}$
sin B = ± $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Karena itu, sin B = $\frac{1}{\sqrt{5}}$, (karena, B adalah sudut kemiringan positif)
Sekarang, cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
= $\frac{3}{\sqrt{10}}$.$\frac{2}{\sqrt{5}}$ – $\frac{1}{\sqrt{10}}$.$\frac{1}{\sqrt{5}}$
Jawab:
Karena kita tahu itu, cos2 A = 1 - sin2 A
= 1 - $\left (\frac{1}{\sqrt{10}} \right )^2$
= 1 – $\frac{1}{10}$
= $\frac{9}{10}$
cos A = ± $\frac{3}{\sqrt{10}}$
Oleh karena itu, cos A = $\frac{3}{\sqrt{10}}$, (karena, A adalah sudut kemiringan positif)
Sekali lagi,
sin2 B = 1 - cos2 B
= 1 - $\left (\frac{2}{\sqrt{5}} \right )^2$
= 1 – $\frac{4}{5}$
= $\frac{1}{5}$
sin B = ± $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Karena itu, sin B = $\frac{1}{\sqrt{5}}$, (karena, B adalah sudut kemiringan positif)
Sekarang, cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
= $\frac{3}{\sqrt{10}}$.$\frac{2}{\sqrt{5}}$ – $\frac{1}{\sqrt{10}}$.$\frac{1}{\sqrt{5}}$
= $\frac{6}{5\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{5\sqrt{2}}$
= $\frac{5}{5\sqrt{2}}$
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$
⇒ cos (A + B) = cos $\frac{1}{4}$π
Karena itu, A + B = $\frac{1}{4}$π.
Contoh Soal 4.
Buktikan bahwa cos ($\frac{1}{4}$π - A) cos ($\frac{1}{4}$π - B) - sin ($\frac{1}{4}$π - A) sin ($\frac{1}{4}$π - B) = sin (A + B)
Jawab:
cos ($\frac{1}{4}$π - A) cos ($\frac{1}{4}$π - B) - dosa ($\frac{1}{4}$π - A) sin ($\frac{1}{4}$π - B)
= cos {($\frac{1}{4}$π - A) + ($\frac{1}{4}$π - B)}
= cos ($\frac{1}{4}$π - A + $\frac{1}{4}$π - B)
= cos ($\frac{1}{2}$π - A - B)
= cos [$\frac{1}{2}$π - (A + B)]
= sin (A + B) Terbukti.
Contoh Soal 5.
Buktikan bahwa sec (A + B) = sec A $\left (\frac{sec B}{1 - tanA tanB} \right )$
Jawab:
sec (A + B) = $\frac{1}{cos (A + B)}$
= $\frac{1}{cos A cos B - sin A sin B}$, [Menerapkan rumus cos (A + B)]
Dan [membagi pembilang dan penyebut dengan cos A cos B]
sec (A + B) = $\frac{secA secB}{1 - tanAtanB}$. Terbukti
Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
- Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
- Pembuktian Identitas sin2 α - sin2 β
- Pembuktian Identitas cos2 α - sin2 β
- Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
- Perluasan sin (A + B + C)
- Perluasan sin (A - B + C)
- Perluasan cos (A + B + C)
- Perluasan tan (A + B + C)
- Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
Post a Comment for "Pembuktian Rumus Penjumlahan cos (α + β)"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!