Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α - β).
Buktikan bahwa $tan(\alpha - \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$
Bukti:
$tan (\alpha - \beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha - \beta)}$
= $\frac{sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}$
[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]
= $\frac{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}-\frac{cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}{\frac{cos \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}+\frac{sin \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}$
= $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$. Terbukti
Oleh karena itu, tan (α - β) = $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$
Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α - β):
Contoh Soal 1.
Tentukan nilai tan 15°
Jawab:
tan 15° = tan (45° - 30°)
= $\frac{tan 45^0 - tan 30^0}{1 + tan 45^0 tan 30^0}$
= $\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1. \frac{1}{\sqrt{3}}}$
= $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
Jawab:
tan 15° = tan (45° - 30°)
= $\frac{tan 45^0 - tan 30^0}{1 + tan 45^0 tan 30^0}$
= $\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1. \frac{1}{\sqrt{3}}}$
= $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
= $\frac{\left (\sqrt{3}-1 \right )^2}{\left (\sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt{3}-1 \right )}$
= $\frac{(\sqrt{3})^2-2.\sqrt{3}+1^2}{3-1}$
= $\frac{3+1-2.\sqrt{3}}{2}$
= $\frac{4-2.\sqrt{3}}{2}$
= $2-\sqrt{3}$
Contoh Soal 2.
Buktikan identitasnya: $\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = tan 35°
Jawab:
$\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = $\frac{1- tan10^0}{1 + tan 10^0} $,
Jawab:
$\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = $\frac{1- tan10^0}{1 + tan 10^0} $,
(pembagi pembilang dan penyebut dengan cos 10 °)
= $\frac{tan45^0- tan10^0}{1 + tan45^0tan 10^0}$, (Karena kita tahu itu, tan 45° = 1)
= tan (45° - 10°)
= tan 35°. Terbukti
Contoh Soal 3.
Jika x - y = $\frac{1}{4}$π, buktikan bahwa $\frac{1 + tanx}{1+tany}$= 2 tan x
Jawab:
Diberikan, x - y = $\frac{1}{4}$π
⇒ tan (x - y) = tan $\frac{1}{4}$π
⇒ $\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$ = 1, [karena tan $\frac{1}{4}$π = 1]
⇒ 1 + tan x tan y = tan x - tan y
⇒ 1 + tan x tan y + tan y = tan x
⇒ 1 + tan x + tan x tan y + tan y = tan x + tan x,
[Menambahkan tan x ke kedua sisi]
⇒ $\frac{1 + tanx}{1+tany}$ = 2 tan x. Terbukti
Contoh Soal 4.
Jika tan β = $\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}$, tunjukkan bahwa tan (α - β) = (1 - n) tan α
Jawab:
$tan(\alpha + \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$
= $\frac{\frac{sin \alpha}{cos\alpha} - \frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}{1 + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}$
= $\frac{sin \alpha (1 - nsin^2 \alpha) -nsin \alpha cos^2 \alpha }{cos \alpha (1 - nsin^2 \alpha) + nsin^2 \alpha cos \alpha}$
= $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{(1 - nsin^2 \alpha -n cos^2 \alpha) }{(1 - nsin^2 \alpha + nsin^2 \alpha )}$
= $\left (\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \right )[1-n(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)]$
= tan α ∙ (1 - n ∙ 1),
[karena, kita tahu bahwa sin2 θ + cos2 θ = 1]
= (1 - n) tan α. Terbukti
Contoh Soal 5.
Jika tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$, buktikan bahwa 3 tan (α - β) = 2 tan α.
Jawab:
Kita punya, tan (α - β) = $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$
⇒ $tan (\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin \alpha}{cos \beta} - \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha }}{1 + \frac{sin\alpha}{cos \alpha} . \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}}$,
[karena kita tahu itu, tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$
⇒ tan (α - β) = $\frac{2sin \alpha + sin \alpha cos^2 \alpha - sin \alpha cos^2 \alpha}{2 cos \alpha + cos^3 \alpha + sin^2 \alpha cos \alpha}$
⇒ tan (α - β) = $\frac{2 sin \alpha}{cos \alpha (2 + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)}$
⇒ tan (α - β) = 2sinα/(cosα (2 + 1)),
[karena kita tahu bahwa cos2θ + sin2θ = 1]
⇒ tan (α - β) = $\frac{2 sin \alpha}{3 cos \alpha}$
⇒ tan (α - β) = 3 tan (α - β)
⇒ tan (α - β) = 2 tan α. Terbukti
Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
- Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
- Pembuktian Identitas sin2 α - sin2 β
- Pembuktian Identitas cos2 α - sin2 β
- Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
- Perluasan sin (A + B + C)
- Perluasan sin (A - B + C)
- Perluasan cos (A + B + C)
- Perluasan tan (A + B + C)
- Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
Post a Comment for "Pembuktian Rumus Selisih Sudut tan (α - β)"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!