Menghilangkan sudut (theta) di antara persamaan Trigonometri

Di sini kita akan memecahkan berbagai jenis masalah pada menghilangkan theta dari persamaan yang diberikan.

Kita tahu, "menghilangkan theta dari persamaan" berarti bahwa persamaan tersebut digabungkan sedemikian rupa menjadi satu persamaan sehingga tetap valid tanpa theta (θ) muncul dalam persamaan baru ini.
Masalah yang diselesaikan pada penghapusan theta (θ) antara persamaan:

Hilangkan theta di antara persamaan:

x = a sin θ + b cos θ dan y = a cos θ – b sin θ

atau

Jika x = a sin θ + b cos θ dan y = a cos θ –b sin θ, buktikan
x² + y² = a² + b².

Solusi:

Kita punya x² + y² = (a sin θ + b cos θ)² + (a cos θ – b sin θ)²

= (a² sin² θ + b² cos² θ + 2ab sin θ cos θ) + (a² cos² θ + b² sin² θ - 2ab sin θ cos θ)

= a² sin² θ + b² cos² θ + 2ab sin θ cos θ + a² cos² θ + b² sin² θ - 2ab sin θ cos θ

= a² sin² θ + b² cos² θ + a² cos² θ + b² sin² θ

= a² sin² θ + a² cos² θ + b² sin² θ + b² cos² θ

= a² (sin² θ + cos² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)

= a² (1) + b² (1); [karena, sin² θ + cos² θ = 1]

= a² + b²
Karena itu, x² + y² = a² + b²

Menggunakan identitas trigonometri kami akan menyelesaikan masalah pada menghilangkan theta (θ) antara persamaan:

tan θ - cot θ = a dan cos θ + sin θ = b.

Solusi:

tan θ – cot θ = a ………. (A)

cos θ + sin θ = b ………. (B)

Mengkuadratkan kedua sisi (B) yang kita dapatkan,
cos² θ + sin² θ + 2cos θ sin θ = b²

or, 1 + 2 cos θ sin θ = b²

or, 2 cos θ sin θ = b² - 1 ………. (C)

Sekali lagi, dari (A) kita dapatkan, (sin θ/cos θ) – (cos θ/sin θ) = a

atau, (sin² θ - cos² θ)/(cos θ sin θ) = a

sin²θ - cos²θ = a sin θ cos θ

(sin θ + cos θ) (sin θ - cos θ) = a ∙ (b² - 1)/2 ………. [oleh (C)]

b(sin θ - cos θ)= (½) a (b² - 1) [oleh (B)]

b² (sin θ - cos θ)² = (1/4) a² (b² - 1)², [Mengkuadratkan kedua sisi]

b² [(sin θ + cos θ)² - 4 sinθ cos θ] = (1/4) a² (b² - 1)²

b² [b² - 2 ∙ (b² - 1)] = (1/4) a² (b² - 1)² [dari (B) dan (C)]

4b² (2 - b²) = a² (b² - 1)²
Tunjukkan bagaimana menggunakan identitas trigonometrik untuk menyelesaikan masalah pada penghapusan theta dari dua persamaan yang diberikan.

x sin θ - y cos θ = √(x²+ y²) dan cos² θ/a² + sin² θ/b² = 1/(x² + y²)

Solusi:

x sin θ - y cos θ = √(x² + y²) ..........…. (A)

cos² θ/a² + sin² θ/b² = 1/(x² + y²) ..........…. (B)

Mengkuadratkan kedua sisi (A) yang kita dapatkan,

x² sin² θ + y² cos² θ - 2xy sin θ cos θ = x² + y²

atau, x² (1 - sin² θ) + y² (1 - cos² θ) + 2xy sin θ cos θ = 0

x² cos² θ + y² sin² θ + 2 ∙ x cos θ ∙ y sin θ = 0

(x cos θ + y sin θ)² = 0

x cos θ + y sin θ = 0

x cos θ = - y sin θ

cos θ/(-y) = sin θ/x

cos² θ/y² = sin² θ/x² = (cos² θ + sin² θ)/(y² + x²) = 1/(x² + y²)

Karena itu, cos² θ = y²/(x² + y²) dan sin² θ = x²/(x² + y² )

Menempatkan nilai-nilai cos² θ dan sin² θ di (B) kita dapatkan,

(1/a²) ∙ {y²/(x²} + y²) + (1/b²) ∙ {x²/(x² + y²)} = 1/(x² + y²)

Or, y²/a² + x²/b² = 1 (karena, x² + y² ≠0)
Penjelasan akan membantu kita untuk memahami bagaimana langkah-langkah digunakan secara teknis untuk menyelesaikan masalah pada penghapusan theta dari persamaan yang diberikan.

Fungsi Trigonometri

Rasio Trigonometrik Dasar dan Namanya

Batasan-batasan Rasio Trigonometrik

Hubungan Timbal Balik dari Rasio Trigonometri

Hubungan Hasil Bagi (Quotient) dari Rasio Trigonometrik

Batas (Limit) Rasio Trigonometrik

Identitas Trigonometri

Masalah pada Identitas Trigonometri

Eliminasi Rasio Trigonometri

Hilangkan sudut di antara persamaan

Masalah pada Eliminasi Sudut

Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri