Identitas Trigonometri

Definisi identitas trigonometri:
Persamaan yang benar untuk semua nilai variabel yang terlibat disebut identitas. Persamaan yang melibatkan rasio trigonometri sudut dan berlaku untuk semua nilai sudut disebut identitas trigonometri.

Ketika solusi dari setiap masalah rasio trigonometri mewakili ekspresi yang sama di L.H.S. dan R.H.S. dan relasi terpenuhi untuk semua nilai θ maka relasi seperti itu disebut identitas trigonometri.
Hubungan timbal balik antara rasio trigonometri umumnya digunakan untuk menetapkan kesetaraan identitas trigonometri tersebut.

Untuk mengatasi berbagai jenis identitas trignometrik, ikuti rumus:

sin θ ∙ csc θ = 1 ⇒ csc θ = 1/sin θ
cos θ ∙ detik θ = 1 ⇒ sin θ = 1/cos θ

tan θ ∙ cot θ = 1 ⇒cot θ = 1/tan θ
tan θ = sin θ/cos θ
cot θ = cos θ/sin θ
sin²θ atau (sin θ)²

dan tan³ θ berarti (tan θ)³, dll.

sin²θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 - sin² θ
sin² θ = 1 - cos² θ
sec²θ = 1 + tan² θ
sec² θ - tan² θ = 1
tan² θ = sec² θ – 1
csc²θ = 1 + cot² θ
csc² θ - 1 = cot² θ
csc² θ - cot² θ = 1
Perbandingan trigonometri dari sudut kemiringan positif θ selalu non-negatif dan

(i) sin θ dan cos θ tidak pernah lebih besar dari 1;

(ii) sec θ dan csc θ tidak pernah kurang dari 1;

(iii) tan θ dan cot θ dapat memiliki nilai apa pun.

Mengatasi masalah pada identitas trigonometri:

Bukti identitas:

tan² θ – (1/cos² θ) + 1 = 0
Bukti:
= tan² θ - sec² θ + 1 [karena 1/cos θ = sec θ]

= tan² θ – (1 + tan² θ) +1 [karena, sec² θ = 1 + tan² θ]

= tan² θ – 1 – tan² θ + 1
= 0 (TERBUKTI)

Pastikan bahwa:

1/(sin θ + cos θ) + 1/(sin θ - cos θ) = 2 sin θ/(1 – 2 cos² θ)

Solusi:

= 1/(sin θ + cos θ) + 1/(sin θ - cos θ)

= [(sin θ - cos θ) + (sin θ + cos θ)]/(sin θ + cos θ)(sin θ - cos θ)

= [sin θ - cos θ + sin θ + cos θ]/(sin² θ - cos² θ)

= 2 sin θ/[(1 - cos² θ) - cos² θ] [since, sin² θ = 1 - cos² θ]

= 2 sin θ/[1 - cos² θ - cos² θ]

= 2 sin θ/[1 – 2 cos² θ] (TERBUKTI)

Buktikan bahwa:

sec² θ + csc² θ = sec² θ ∙ csc² θ

Solusi:

sec² θ + csc² θ = 1/cos² θ + 1/sin² θ [since, sec θ = 1/cos θ and csc θ = 1/sin θ]

= (sin² θ + cos² θ)/(cos² θ sin² θ)

= 1/cos² θ ∙ sin² θ [since, sin² θ + cos² θ = 1]

= 1/cos² θ ∙ 1/sin² θ

= sec² θ ∙ csc² θ (TERBUKTI)
Lebih banyak contoh tentang identitas trigonometri dijelaskan di bawah ini. Untuk membuktikan identitas langkah demi langkah, ikuti formula trigonometri di atas.

Buktikan identitasnya:

cos θ/(1 + sin θ) = (1 + cos θ - sin θ)/(1 + cos θ + sin θ)

Solusi:

(1 + cos θ - sin θ)/(1 + cos θ + sin θ)

= {(1 + cos θ - sin θ) (1 + cos θ + sin θ)}/{(1+ cos θ + sin θ) (1 + cos θ + sin θ)} [mengalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + cos θ + sin θ)]

= {(1 + cos θ)² - sin² θ}/(1 + cos θ + sin θ)²

= (1 + cos² θ + 2 cos θ - sin² θ)/{(1 + cos θ)² + 2 ∙ (1 + cos θ) sin θ + sin² θ}

= (cos² θ + 2 cos θ + 1 - sin² θ)/{1 + cos² θ + 2 cos θ + 2 ∙ (1 + cos θ) ∙ sin θ + sin² θ}

= (cos² θ + 2 cos θ + cos² θ)/{2 + 2 cos θ + 2 ∙ (1 + cos θ) ∙ sin θ} [since, sin² θ + cos² θ = 1 and 1 - sin² θ = cos² θ]

= {2 cos θ (1 + cos θ)}/{2 (1 + cos θ)(1 + sin θ)}

= cos θ/(1 + sin θ) (TERBUKTI)

Verifikasi identitas trigonometri:

(cot θ + csc θ – 1)/(cot θ - csc θ + 1) = (1 + cos θ)/sin θ

(cot θ + csc θ – 1)/(cot θ - csc θ + 1) = {cot θ + csc θ - (csc² θ - cot² θ)}/(cot θ - csc θ + 1)

karena [csc² θ = 1 + cot² θ ⇒ csc² θ - cot² θ = 1], maka

= {(cot θ + csc θ) - (csc θ + cot θ) (csc θ - cot θ)}/(cot θ - csc θ + 1)

= {(cot θ + csc θ) (1 - csc θ + cot θ)}/ (1 - csc θ + cot θ)

= cot θ + csc θ

= (cos θ/sin θ) + (1/sin θ)

= (1 + cos θ)/sin θ (TERBUKTI)

Fungsi Trigonometri

Rasio Trigonometrik Dasar dan Namanya

Batasan-batasan Rasio Trigonometrik

Hubungan Timbal Balik dari Rasio Trigonometri

Hubungan Hasil Bagi (Quotient) dari Rasio Trigonometrik

Batas (Limit) Rasio Trigonometrik

Identitas Trigonometri

Masalah pada Identitas Trigonometri

Eliminasi Rasio Trigonometri

Hilangkan sudut di antara persamaan

Masalah pada Eliminasi Sudut

Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri